アットランダム≒ブリコラージュ

11316：素数p...条件式を満たすp...

バ〜ラが咲いた〜ピンクのバ〜ラ〜ぁがぁ〜🌸

問題11316(友人問)

解答

・わたしの…

地道に…

変則p進法…

p=2…

2003/2=1001…1

1001/2=500…1

500/2=250…0

250/2=125…0

125/2=62…1

62/2=31…0

31/2=15…1

15/2=7…1

7/2=3…1

3/2=1…1

11111010011=8

11111002011=9

11111000411=11

11111000251=13

11111000235=15・・・◯

p=3…

2003/3=667…2

667/3=222…1

222/3=74…0

74/3=24…2

24/3=8…0

8/3=2…2

202012=7

200612=11

200472=15・・・◯

p=5…

2003/5=400…3

400/5=80…0

80/5=16…0

16/5=3…1

31003=7

1(11)003=15・・・◯

p=7…

2003/7=286…1

286/7=4…6

461=11

なし…

p=11…

2003/11=182…1

182/11=16…6

16/11=1…5

1561=13

なし

p=13…

2003/13=154…1

154/13=11…11

(11)(11)1=23

なし

p=17…

2003/17=11…14

(11)(14)=25

なし

p=19…

2003/19=10…8

(10)8=18

なし

p=23…

2003/23=87…2

87/23=3…19

3(19)2=24

なし…

p=29…

2003/29=69…2

69/29=2…11

2(11)2=15・・・◯

p=31…

2003/29=64…19

なし

p=37…

2003/37=54…5

54/37=1…17

1(17)5=23

なし

p=41…

2003/41=48…35

なし

p=43…

2003/43=46…25

なし

√2003=44.7…

けっきょく…

p=2,3,5,29

ね ^^;v

スマートな解法があるに違いない…?

↑

アホ and エレファントなこと考えてしまいました ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのエレガントな解法 Orz〜

a[m-1],a[m-2],…,a[0]は0以上p-1以下だから，
「変則」ではなく，p進法そのものです．

十進法の桁の数字の合計は，元の数との差が9の倍数となるように，
N進法の桁の数字の合計は，元の数との差がN-1の倍数となります．

(なお，係数をp未満に限定しなくても，

「係数の合計と元の数との差はp-1の倍数」は成立します．)

2003-15=1988がp-1の倍数であり，
1988=(2^2)*7*71の約数1,2,4,7,14,28,71,142,284,497,994,1988に1を足して，
素数を選ぶことにより，pの候補は2,3,5,29.
2003=11111010011(2)=2202012(3)=31003(5)=2「11」2(29)
より，適するものは，p=29だけですね．

(追記)
2003=3723(8)=8「13」8(15)=「27」「59」(72)=「14」1(143)=87(285)
=「11」4(498)=「13」2(995)=「14」1(1989)
なので，条件「素数」をなくすと，8,143,285,498,995,1989が解に加わります．

*お気に入りぃ♪

談笑 in イタ飯屋 ^^v

お久の鳩首会合ぉ〜^^

なっかなか都合つかず...途絶えてた談笑会がでけた♪

お久の会場で集う…

お店の前でピッタシカンカンで遭遇ぅ〜

時間にみなパンクチャルあるね ^^

ここのパスタ美味☆

いつも相手が食べてる方が美味く見えるわたしですが…^^;

今回は、１人はカレー、もう１人はわたしと同じメニューで安心して食べれたわ!! 

いつもながら...他愛無い話だったんだと思う…

だって、３時間弱だべってたのに...ほとんど思い出せない…^^;;

記銘力の低下のせいだとは思いたくなか!!

味覚も堪能され，気のおけない友人らとの会話で脊髄反射でだべってたんかいなぁ ^^…

デザートのあとのコーヒーがとっても美味しそうでそそられてたわたしが逃すはずもありません!!

〆のコーヒーの支払いを恒例のジャンケンで決める…

連敗中のわたしはこの方法を阿弥陀籤に変更しようかと思うも…

そりゃさすがに姑息だなぁって思うだけの矜持はあったようで ^^

今回も堂々と...崖から飛び降りる覚悟で挑む!!

あいこが数回続き...手に汗握る予断を許さない戦いが…

結果...臥薪嘗胆，神はついにわたしに微笑んで下さった☆

グー、グー組の勝利♪

１人勝ちしたかったけど...暴利を貪るものは久しからずや!!…

今までの負債が少しは取り戻せたぁ〜〜〜と...溜飲が下がったり!! 

まさにうっしっし ^^v

次回もジャンケンしちゃうもんね!!

11315：素数p…1+p+p^2+…+p^n=N...

これ意外にいけた☆

問題11315・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

N=(p^(n+1)-1)/(p-1)<=(p^(n+1)-1)<p^(n+1)

(2)

p^n*(p-1)=p^(n+1)-p^n<p^(n+1)-1

so…

p^n<N<p^(n+1)

so…

(p(n+1)-1)/p^k)-((p^n-1)/p^k)=p^(n-k)*(p-1)個

(3)

p^(n-m)*(p-1)個が最小になるときなので…m=n

ってことでいいのか知らん…^^

↑

かなりいい加減でしたぁ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2) 「m^k」は意味不明ですのでスルーします．(多分m[k]だと思いますが)

Nはp,nにより定まる数です．(例えばp=5,n=4ならN=1+5+5^2+5^3+5^4です．)
このとき，
「1〜Nのうちでp^k (ただし，kはn以下の自然数)の倍数はいくつあるか」
(例えば，1〜1+5+5^2+5^3+5^4=781のうちで5^2の倍数はいくつあるか)
という問です．

固定されたNに対して，1〜Nのうちのp^kの倍数は，
p^k,2p^k,3p^k,…のようになるので，
その個数はN/(p^k) (小数点以下切り捨て)ですね．

結論は，Nをp^kで割った商 [N/(p^k)] であり，
m[k]=1+p+p^2+…+p^(n-k)=(p^(n-k+1)-1)/(p-1)となります．

(3) 1〜Nのうちで，p^kの倍数がいくつあるかを(2)で求めました．
それを踏まえて，N! (1〜Nの積)がpで何回割り切れるかを求める問題です．
(例えば，「5^mが781!の約数となるような最大の整数mは?」)
この例に対しては，
781!=5・10・15・…・781*(5で割り切れない整数)
=(5^156)*156!*(5で割り切れない整数) [156は，p^1の倍数の個数]
=(5^156)*5・10・15・…・155*(5で割り切れない整数)
=(5^156)*(5^31)*31!*(5で割り切れない整数) [31は，p^2の倍数の個数]
=(5^187)*5・10・15・…・30*(5で割り切れない整数)
=(5^187)*(5^6)*6!*(5で割り切れない整数) [6は，p^3の倍数の個数]
=(5^193)*5*(5で割り切れない整数) [p^4の倍数の個数は1]
より，193+1=194が最大値であり，
一般には,

1〜Nのうちで，pの倍数がm[1]=(p^n-1)/(p-1)(個)，
そのうち，p^2の倍数がm[2]=(p^(n-1)-1)/(p-1)(個)，
そのうち，p^3の倍数がm[3]=(p^(n-2)-1)/(p-1)(個)，…
となるので，求める最大のmは，
m[1]+m[2]+…+m[n]
であり，計算すると
(p^(n+1)-(n+1)p+n)/((p-1)^2)
となります．

*やっとトレースできましたぁ ^^;♪