アットランダム≒ブリコラージュ

11320：確率...モンティーホール...

いっぱいの花目に楽し🌸

問題11320・・・☆オリジナルの高校数学の問題を掲載していきます☆ http://mm2445.blog.fc2.com/blog-entry-262.html より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

11319：ゲームの必勝法…3色の山...

問題11319・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://homepage1.nifty.com/Hagure/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

11318：素数p…(199p)C(197p)-199C197はpの倍数...

問題11318・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

199p*199(p-1)*199(p-2)*…*199

198p*198(p-1)*198(p-2)*…*198

…

p*(p-1)*(p-2)*…*1

so…

(199p)!=199!*p^199*((p-1)!)^199

so…

((p-1)!)^199 をpで割った余り

so…r^199

so…

(199p)!/(199!*p^199)=((p-1)!)^199=p*m+r^199

so…

(199p)!=199!*p^199*(kp+r^199)

(2)

(199p)!=199!*p^199*(kp+r^199)

(197p)!=197!*p^197*(lp+r^197)

(199p)C(197p)

(2p)!=2!*p^2*(mp+r^2)

=(199p)!/((197p)!*(2p)!)

=199!/((197!)(2!))*(kp+r^199)/((lp+r^197)*(mp+r^2))

与式

=(199!/((197!)(2!))*((kp+r^199)-(lp+r^197)(mp+r^2))/((lp+r^197)*(mp+r^2))

分子=(k*p+r^199)-(l*p+r^197)(m*p+r^2)

      =p*(k-lmp-lr^2-mr^197)

与式は整数なので…

また、分母はpで割ると余りが出るので…

分子のpが残る…

つまり、

与式はpの倍数 ^^

(3)・・・よくわからない…^^;;

ウィルソンの定理より…

(p-1)!≡-1　mod p

(p-1)!*(q-1)!≡1　mod (p*q)

so…

1

と予想…^^;

↑

いい加減でしたわ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) 結果はよさそうですが，過程は変だと思います．

(199p)!は，
199p*199(p-1)*199(p-2)*…*199
*198p*198(p-1)*198(p-2)*…*198
*…
とはならず，
199p*(199p-1)*(199p-2)*…*(199p-(p-1))
*198p*(198p-1)*(198p-2)*…*(198p-(p-1))
*…
*p*(p-1)*(p-2)*…*1
となります．
各行の先頭の因子の積が199!p^199なので，
(199p)!/(199!p^199)は，各行の先頭の因子を除いた積です．
これをXとします．

p=2のときは，Xは奇数だから，X≡1(mod p).
それ以外のとき，pは奇数であることに注意して，pを法として
X≡((-1)(-2)…(-(p-1)))^199≡((-1)^(p-1))((p-1)!)^199≡r^199.
p=2のときr=1だから，これはp=2のときも成り立つ．

ということで，空欄はr^199なのでしょうね．

(実際は，ウィルソンの定理から，r≡-1(mod p)なので，
空欄には(-1)が適すると思いますが．．．) 

(2)は正しいと思います．
ただし，3行目と4行目が入れ替わっているようです．

なお，組合せ論的に示すことも可能です．

199p人の人がp人ずつで円を作り，199個の円ができているとします．
197p人を選ぶ際に，選ばれた人にカードを渡すことにします．
(i) 197個の円についてだけ全員にカードを渡す選び方が199C197通り．
(ii)それ以外の選び方は，カードを持つ人と持たない人が混在する円を含む．
このような選び方の1つについて，
カードを持っている人が一斉に右隣の人にカードを渡すと別の選び方ができる．
p回繰り返すと，初めて初期状態に戻るので，p通りの選び方がセットになる．
つまり，(ii)の選び方の総数はpの倍数．

これで示せていますね．

*この発想のトレースに努めたいと思いまっす…^^;…

(3) (1),(2)との関連はわかりませんが，単独で容易に解けます．
素因数197をいくつ持つかを調べると，
(197M)!については，M+M/197+[M/(197^2)]=197*199+199+1(個)．
(196M)!については，[196M/197]+[196M/(197^2)]+[196M/(197^3)]
=196*199+197+1(個).
M!については，[M/197]+[M/(197^2)]=199+1(個).
(197*199+199+1)-(196*199+197+1)-(199+1)=1だから，
(197M)C(M)は，197で1回割り切れます．
同様に，素因数199をいくつ持つかを調べることにより，
(197M)C(M)は199でも割り切れることがわかり，求める余りは0だと思います．

*(1),(3)の考え方がよくわかりました☆

グラッチェ〜m(_ _)m〜♪

11317：カード問…3枚選んだとき最小が奇数...

問題11317・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37030809.html ;より Orz〜

　ｎを３以上の自然数とします。

　１からｎまでのカードが１枚ずつあって、この中から無作為に３枚を取り出すときの

　３枚のカードの最小の数が奇数である確率が 既約分数 p/2020 であるとき、自然数の組 (n，p)＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37047581.html より Orz〜

　取り出す３枚のカードの最小の数を 2k−1 とし、2k−1 と これより大きい２枚を取り出す方法は、

　_n-2k+1Ｃ2＝(n−2k＋1)(n−2k)/2＝2k²−(2n＋1)k＋n(n＋1)/2 です。

　これを n＝1，2，3，……，m として加えた和を S とすると、

　S＝m(m＋1)(2m＋1)/3−(2n＋1)m(m＋1)/2＋n(n＋1)m/2

　 ＝m｛2(m＋1)(2m＋1)−3(2n＋1)(m＋1)＋3n(n＋1)｝/6

　 ＝2m｛2(2m＋2)(2m＋1)−3(2n＋1)(2m＋2)＋6n(n＋1)｝/24 になります。

　ｎが奇数のとき、n−2k＋1 の最後の値は n−2m＋1＝2 なので、2m＝n−1 になり、

　S＝2m｛2(2m＋2)(2m＋1)−3(2n＋1)(2m＋2)＋6n(n＋1)｝/24

　 ＝(n−1)｛2(n＋1)n−3(2n＋1)(n＋1)＋6n(n＋1)｝/24

　 ＝(n−1)(n＋1)｛2n−3(2n＋1)＋6n｝/24＝(n−1)(n＋1)(2n−3)/24 、

　ｎが偶数のとき、n−2k＋1 の最後の値は n−2m＋1＝3 なので、2m＝n−2 になり、

　S＝2m｛2(2m＋2)(2m＋1)−3(2n＋1)(2m＋2)＋6n(n＋1)｝/24

　 ＝(n−2)｛2n(n−1)−3(2n＋1)n＋6n(n＋1)｝/24

　 ＝(n−2)n｛2(n−1)−3(2n＋1)＋6(n＋1)｝/24＝(n−2)n(2n＋1)/24 、

　確率は S/_nＣ₃＝24S/｛4n(n−1)(n−2)｝ ですので、

　ｎが奇数のとき、(n−1)(n＋1)(2n−3)/｛4n(n−1)(n−2)｝＝(n＋1)(2n−3)/｛4n(n−2)｝ ですが、

　n＋1 は偶数，n(n−2) は奇数なので、約分すると分母は４の倍数になりません。

　従って、既約分数 p/2020 になることはありません。

　ｎが偶数のとき、(n−2)n(2n＋1)/｛4n(n−1)(n−2)｝＝(2n＋1)/(4n−4) 、

　ここで、GCD(2n＋1，4n−4)＝GCD(2n＋1，−6) で 2n＋1 は奇数なので、

　(2n＋1)/(4n−4) は既約であるか、分子･分母を３で約して既約になります。

　よって、2n＋1＝p，4n−4＝2020 または 2n＋1＝3p，4n−4＝6060 、

　前者の場合は (n，p)＝(506，1013) 、後者の場合は (n，p)＝(1516，1011) です。


[参考] たけちゃんさんの考え方より

　2k−1，2k の数のカードを１つの組 (ただしｎが奇数のときは n だけで１つの組) にすれば、

　取り出す３枚が、同じ組の２枚のカードとそれより大きい１枚のカードである確率は、

　ｎが奇数のときは ｛(n−2)＋(n−4)＋……＋1｝/_nＣ₃＝(n−1)²/(4･_nＣ₃)＝3(n−1)/｛2n(n−2)｝ 、

　ｎが偶数のときは ｛(n−2)＋(n−4)＋……＋2｝/_nＣ₃＝n(n−2)/(4･_nＣ₃)＝3/｛2(n−1)｝、

　これ以外の場合は、最小が奇数である場合の数と 最小が偶数である場合の数は等しいので、

　最小が奇数である確率をｐとすれば、

　ｎが奇数のときは p＋p−3(n−1)/｛2n(n−2)｝＝1 、p＝(n＋1)(2n−3)/｛4n(n−2)｝ 、

　ｎが偶数のときは p＋p−3/｛2(n−1)｝＝1 、p＝(2n＋1)/｛4(n−1)｝ です。

*けっきょくわからず…読んでもわからず…byond me…^^;;