アットランダム≒ブリコラージュ

11337：求長...△内の最短線分...

問題11337(友人問)

BC=7　CA=8　AB=5　であるような三角形ABCがある。点P,Q,R

はそれぞれ線分BC,CA,AB上の端点でない点であり、∠QPR=60°

をみたしつつ動く。このとき、QRの最小値を求めよ。

解答

・わたしの…

面倒な計算をしてしまった…^^;

でいいはずね…?...^^;

↑

計算もおかしかったし…

そもそも、PがBCに接する時の△PQRを求めなきゃ最短にならないのでした ^^;…Orz...その意味では…QRのMaxを求めてたわけかと…?

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

ちょっとずるいようですが，次のようにできると思います．

3点P,Q,Rを通る円(中心をOとする)の半径がrのとき，
正弦定理よりQR/sin60°=2rであるから，QR=(√3)rであり，
rを最小にすることを考えればよい．
ここで，∠QPR=60°の条件をはずして考えると，
△OAB≦(1/2)AB・r,△OBC≦(1/2)BC・r,△OCA≦(1/2)CA・rであり，
△ABC≦△OAB+△OBC+△OCA≦(1/2)(AB+BC+CA)r.
等号は，Oが三角形ABCの内心のとき成り立ち，このときrは最小．
∠BAC=60°であることに注意すると，このとき，∠QOR=180°-∠QAR=120°,
∠QPR=60°となって，ちょうど条件を満たす．
さらに，このとき三角形AQRは正三角形となるから，求める最小値は，
(1/2)(CA+AB-BC)=3.

*(1/2)(CA+AB-BC)/2=QR である理由…

Oが三角形ABCの内心，rが内接円の半径のとき，
P,Q,Rは，内接円と辺BC,CA,ABの接点となるので，AQ=AR,BR=BP,CP=CQであり，
AQ=AR=x,BR=BP=y,CP=CQ=zとおけば，y+z=BC,z+x=CA,x+y=ABです．
三角形AQRが正三角形だから，QR=AQ=x=(CA+AB-BC)/2となります．

*Pが垂線で…△PQRが最小なら…内接円のときであり…この場合角A=60°だったから満たしているのでしたのね ^^☆

川面 or 風紋…はたまたうたかたの泡...^^☆

画像：完全無欠で荒唐無稽な夢 さんのサイト http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/ より 引用 Orz〜

ずっと見てても見飽きないもものけ姫的美しさ♪

11336：整数指数方程式...

問題11336・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf ;

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

b^2*loga=a*logb

b^2/a=logb/loga

b=a^k

(a^k)^2/a=a^(2k-1)=k

a=k^(1/(2k-1))

kは有理数

k=1

a=1=b

だけだと思う…^^;

↑

結構骨のある問題なのでしたわ ^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

a=1のとき，b=1であり，b=1のとき，a=1である．
つまり，a,bの少なくとも一方が1である解は，(a,b)=(1,1).
以下，a>1,b>1なる解を考える．

有理数a/(b^2)をkとおくと，b^k=a=kb^2より，b^(k-2)=k.…(*)
k-2を既約分数で表してp/q (p,qは互いに素，qは自然数)と表すとき，
b^(p/q)が有理数だから，bはq乗数に限り，b=B^qとおくと，
k=B^pとなって，kは自然数または自然数の逆数．

kが自然数のとき，(*)において，
k=1ならば，b^(-1)=1よりb=1(不適).
k=2ならば，b^0=2(不適).
k=3ならば，b^1=3，a=kb^2=27.
k=4ならば，b^2=4よりb=2，a=kb^2=16.
log b=(log k)/(k-2)=f(k)として，f'(k)=(k-k log k-2)/(k(k-2)^2)より，
f'(k)<0 (k>e)を得て，k>4のときf(k)<f(4)=log2よりb<2となり，不適．

kが自然数でないとき，1/k=m (mは2以上の自然数)とおける．
a^m=bより，a^(2m)=b^2=a/k=amであり，a^(2m-1)=m.
m<2^(2m-1) (m=2,3,4,…)は明らかだから，
a^(2m-1)<2^(2m-1)よりa<2となり，不適．

以上より，
(a,b)=(1,1),(16,2),(27,3). 

*ご教授いただき感謝〜m(_ _)m〜☆

熟読玩味ぃ〜^^;♪