アットランダム≒ブリコラージュ

11236：2^nの最上位が1になる確率...

問題11236・・・http://enjoymath2.blog.fc2.com/?tag=☆☆☆&page=1 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

nが∞とすると…

p(1)+p(2)+…+p(9)=1

1を2倍したら…2 or 3

so…

p(1)=p(2)+p(3)

5〜9を2倍したら…1

so…

p(1)=p(5)+p(6)+p(7)+p(8)+p(9)

4は2の2倍しかなく、2は1の2倍しかないので…

p(4)=p(2)=p(1)

so…

p(1)+{p(2)+p(3)}+{p(4)}+{p(5)+…+p(9)}

=4*p(1)=1

so…

p(1)=1/4

でいいのかいなぁ…^^;…?

↑

ウソでした ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「2^n(nは自然数)から無作為に1つを取り出す」ことはできないので，
この問いは，厳密には意味をなさないような気がするのですが，
「2^n (n=1,2,3,…,N) の最上桁が1である確率で，Nを大きくした極限」
と捉えれば，意味がある問いになります．
その意味であるとして考えます．

最上位が1であるものを2倍すると，最上位は2,3のいずれかとなり，
最上位が2であるものを2倍すると，最上位は4,5のいずれかとなるので，
スモークマンさんの書き方で言えば，p(4)<p(2)<p(1)であり，
p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)+p(8)+p(9)=3p(1)+p(4)は，
3p(1)よりは大きく，4p(1)よりは小さいことになり，1/4<p(1)<1/3を得ます．
ただし，この考え方では，範囲を絞ることはできても，
厳密な値を得ることは難しそうです．

(解法1)
2の常用対数log[10]2(≒0.3010)をkとして，2^Nの桁数はkN+1の整数部分です．
2^nの形の数で，最上位が1であるものは，1桁にはなく，
2桁以上では桁数ごとに1つずつあるので，2^n (n=1,2,3,…,N) のうち，
最上位が1であるものの個数はkNの整数部分となり，
Nを定めたときの確率pは，p=[kN]/Nとなります．
kN-1<[kN]<kNより，k-1/N<p<kとなって，
Nを大きくしたときの極限(すなわち，求める確率)はkです．

(解法2)
2^nの常用対数は，log[10]2のn倍であり，(無理数の間隔で)等間隔に並びます．
これの小数部分が0以上log[10]2未満となる割合を求めればよいわけですが，
幅1の中で，適する幅がlog[10]2なので，求める確率はlog[10]2となります．

こちらの考え方を用いれば，例えば最高位が7である確率も同様にして
log[10]8-log[10]7=log[10](8/7)
のように求められます．

*[解法2]なるほどぉ〜☆

お気に入り♪

"私がオバさんになっても"…森高千里☆

森高千里 『私がオバさんになっても』 (ライブ)

わたしゃ...この歌しか実は知らなかったりする... ^^;;

しかも、こんなエアロビダンスの振り付けも何もかもわたしゃ知らぬ存ぜぬだったのよ…^^;;;

この歌...デイサービスで流してみんなで踊ればいいと思ったり…^^

ロコモ体操より有効なんじゃないかいなぁ…Orz…

どこかで試してみて☆かぁ☆

"二人は恋人"…森高千里☆

森高千里 - 二人は恋人 （'95）

パーフェクトウーマン♪

鼻にかかった甘い声がセクシーなんだとわたしゃ思う…

旧きを訪ねて新たに学習し直してます…^^;v

"この街"…森高千里☆

森高千里　この街

ふるさとは変わって欲しくないと思うのはわたしだけ？

学生時代に棲んでたとこ訪れても跡形もないってのは…

グラウンド０…茫然自失ぅ〜^^;

わたしの青春を返して〜…

遡上するサケの気持ちがよ〜〜〜くわかったりする…^^//

11235：a<b<cなる正整数…12*(a+b+c)=a*b*c...

問題11235・・・http://enjoymath2.blog.fc2.com/?tag=☆☆☆&page=1 より 引用 Orz〜

(2005年数学オリンピック予選問題　第5問)

解答

・わたしの…

a<b<c

12(a+b+c)=abc

1/ab+1/bc+1/ca=1/12

3/a^2>1/12

a^2<36

a=1,2,3,4,5

a=1

12(1+b+c)=bc

bc-12(b+c)=12

b(c-12)-12(c-12)=12+144

(b-12)(c-12)=156=2^2*3*13

3*2*2=12個の約数

a=2

12(2+b+c)=2bc

bc-6(b+c)=12

b(c-6)-6(c-6)=(b-6)(c-6)=12+36=48=2^4*3・・・10個の約数

a=3

12(3+b+c)=3bc

bc-4(b+c)=12

b(c-4)-4(c-4)=(b-4)(c-4)=12+16=28=2^2*7・・・6個の約数

a=4

12(4+b+c)=4bc

bc-3(b+c)=(b-3)(c-3)=12+9=21=3*7・・・4個の約数

a=5

(b-5)(c-5)=12+25=37・・・2個の約数

so…(12+10+6+4+2)/2=36/2=18通り・・・約数を１個選んだらもう１個は決まるので…実際は約数の個数の半分ね ^^

↑

嘘でしたばい ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

a=5のときは，
(b-12/5)(c-12/5)=12+144/25，つまり(5b-12)(5c-12)=444となります．
b≧6より，5b-12≧18であり，18以上の444の約数は最小でも37だから，
37≦5b-12≦5c-12となって，題意を満たす解はありません．
また，a=4のときは，(b-3)(c-3)=21から，(b,c)=(4,24),(6,10)
となりますが，このうち(4,24)は，a=bとなって不適です．
結局，a=1,2,3,4に対する解の個数は順に6,5,3,1となり，
結論は6+5+3+1=15(個)ですね．

*細心の注意が求められるのでした…^^;;...