11340：8進数の逆順が倍数...

問題11340・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37049928.html ;

より Orz〜

　八進法の 2156₍₈₎ は逆順にすると 6512₍₈₎ で、2156₍₈₎ の倍数です。

　このような、回文数でない八進法の４桁の数で、逆順が倍数になるものは？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37082083.html より Orz〜

[解答1]

　求める数を八進法で表したときの数字を上から A，B，C，D とすれば、

　k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A と書くことができます。

　ここで、A，B，C，D，k は 7 以下の負でない整数で、A≠0，D≠0，k≧2 とします。

　A＝1 のとき、kD≡1 (mod 8) なので、kD＝9，17，25，33，41，49 、

　(D，k)＝(3，3)，(5，5)，(7，7) が考えられます。

　A＝2 のとき、2k≦7，k≦3，kD≦21 で、kD≡2 (mod 8) なので、kD＝10，18 、

　(D，k)＝(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3) が考えられます。

　A＝3 のとき、3k≦7，k≦2，kD≦14 で、kD≡3 (mod 8) なので、kD＝11 、

　(D，k)に該当する数はありません。

　A≧4 のとき、k≧2 なので、Ak≦7 を満たしません。

　ここまでの考察で、

　(A，D，k)＝(1，3，3)，(1，5，5)，(1，7，7)，(2，2，5)，(2，5，2)，(2，3，6)，(2，6，3)

　ですが、kA≦D＜k(A＋1) だから、

　(A，D，k)＝(1，3，3)，(1，5，5)，(1，7，7)，(2，5，2)，(2，6，3) に絞られます。

　ここで、k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A より

　(8k−1)B−(8−k)C＝64(D−kA)−(kD−A)/8 と書くことができます。

　(A，D，k)＝(1，3，3) のとき、23B−5C＝−1 、(B，C)に該当する数はありません。

　(A，D，k)＝(1，5，5) のとき、39B−3C＝−3 、13B−C＝−1 、(B，C)＝(0，1) です。

　(A，D，k)＝(1，7，7) のとき、55B−C＝−6 、(B，C)＝(0，6) です。

　(A，D，k)＝(2，5，2) のとき、15B−6C＝63 、5B−2C＝21 、(B，C)＝(5，2)，(7，7) です。

　(A，D，k)＝(2，6，3) のとき、23B−5C＝−2 、(B，C)＝(1，5) です。

　まとめると、(A，B，C，D，k)＝(1，0，1，5，5)，(1，0，6，7，7)，(2，5，2，5，2)，(2，7，7，5，2)，(2，1，5，6，3) 、

　従って、1015₍₈₎ ，1067₍₈₎ ，2156₍₈₎ ，2525₍₈₎ ，2775₍₈₎ です。


[解答2]

　求める数を八進法で表したときの数字を上から A，B，C，D とすれば、

　k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A と書くことができます。

　ここで、A，B，C，D，k は 7 以下の負でない整数で、k≧2，1≦A＜D とします。

　まず、512A＋64B＋8C＋D≡512D＋64C＋8B＋A≡A＋B＋C＋D (mod 7) になり、

　k(A＋B＋C＋D)≡A＋B＋C＋D (mod 7) 、(k−1)(A＋B＋C＋D)≡0 (mod 7) 、

　k＝2，3，4，5，6，7 ですので、A＋B＋C＋D≡0 (mod 7) になります。

　ここで、kA≦7 だから、A≦3 、A＋B＋C＋D＝7，14，21 です。

　また、k(512A＋64B＋8C＋D)＋(512A＋64B＋8C＋D)＝(512D＋64C＋8B＋A)＋(512A＋64B＋8C＋D) 、

　(k＋1)(512A＋64B＋8C＋D)≡0 (mod 9) 、(k＋1)(−A＋B−C＋D)≡0 (mod 9) になり、

　k＝3，4，6，7 のとき、A＋C≡B＋D (mod 9) ですので、A＋C と B＋D の差が 0，9 、

　和が 7，14，21 であり、和＞差 で 和と差の偶奇は一致するので、

　和が 14，差が 0 の場合 と 和が 21，差が 9 の場合しか考えられませんが、

　和が 21，差が 9 の場合は、片方が 15 で、あり得ません。よって、A＋C＝B＋D＝7 です。

　k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A より 512kA＋64kB＋8kC＋kD＝512D＋64C＋8B＋A 、 

　512kA＋64kB＋8k(7−A)＋k(7−B)＝512(7−B)＋64(7−A)＋8B＋A 、 

　(504k＋63)A＋(63k＋504)B＝4032−63k 、(8k＋1)A＋(k＋8)B＝64−k 、

　k＝3 のとき、25A＋11B＝61 、(A，B)＝(2，1) 、(A，B，C，D，k)＝(2，1，5，6，3) です。

　k＝4 のとき、33A＋12B＝60 、これを満たす (A，B)は存在しません。

　k＝6 のとき、49A＋14B＝58 、これを満たす (A，B)は存在しません。

　k＝7 のとき、57A＋15B＝57 、(A，B)＝(1，0) 、(A，B，C，D，k)＝(1，0，6，7，7) です。

　k＝2，5 のとき、k(512A＋64B＋8C＋D)＝512D＋64C＋8B＋A より kD≡A (mod 8) 、 

　k＝2 のとき、2D≡A (mod 8) ，A≦3 だから、A＝2 、2D≡2 (mod 8) ，A＜D だから、D＝5 、

　2(512･2＋64B＋8C＋5)＝512･5＋64C＋8B＋2 より 120B−48C＝504 、5B−2C＝21 、

　(B，C)＝(5，2)，(7，7) 、(A，B，C，D，k)＝(2，5，2，5，2)，(2，7，7，5，2) です。

　k＝5 のとき、5A≦7 だから、A＝1 、5D≡1 (mod 8) だから、D＝5 、

　5(512･1＋64B＋8C＋5)＝512･5＋64C＋8B＋1 より 312B−24C＝−24 、13B−C＝−1 、

　(B，C)＝(0，1) 、(A，B，C，D，k)＝(1，0，1，5，5) です。

　従って、2156₍₈₎ ，1067₍₈₎ ，2525₍₈₎ ，2775₍₈₎ ，1015₍₈₎ です。


[参考]

　707₍₈₎×1＝0707₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×1＝0777₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×1＝1067₍₈₎
　707₍₈₎×2＝1616₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×2＝1776₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×2＝2156₍₈₎
　707₍₈₎×3＝2525₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×3＝2775₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×3＝3245₍₈₎
　707₍₈₎×4＝3434₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×4＝3774₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×4＝4334₍₈₎
　707₍₈₎×5＝4343₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×5＝4773₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×5＝5423₍₈₎
　707₍₈₎×6＝5252₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×6＝5772₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×6＝6512₍₈₎
　707₍₈₎×7＝6161₍₈₎ 　　　　777₍₈₎×7＝6771₍₈₎ 　　　　1067₍₈₎×7＝7601₍₈₎

　707₍₈₎＝1010₍₈₎−0101₍₈₎ だから、512の位と 8の位が 1ずつ増え、64の位と 1の位が 1ずつ減ります。

　777₍₈₎＝1000₍₈₎−0001₍₈₎ だから、512の位が 1ずつ増え、1の位が 1ずつ減ります。 

　1067₍₈₎＝1100₍₈₎−0011₍₈₎ だから、512の位と 64の位が 1ずつ増え、8の位と 1の位が 1ずつ減ります。

　この中に、2525₍₈₎ ，2775₍₈₎ ，1067₍₈₎ ，2156₍₈₎ があり、その逆順が 倍数になることは明らかですが、

　きちんと 検討しないと、1015₍₈₎ は 出てきません。

*わたしゃ地道に…k=2〜７で健闘ぉ〜…but,,,こりゃ疲れたぁ...^^;v

8^3*a+8^2*b+8c+d=k(8^3*d+8^2*c+8b+a)
k=2
8^3(a-2d)+8^2(b-2c)+8(c-2b)+(d-2a)
d=2 
a=4,5,6
d-2aが8の倍数になるのは…2-10=-8 だけ
8^3+8^2(b-2c)+8(c-2b)+(2-10)=0
48b-120c+504=0
2b-5c+21=0
b=2c-10+(c-1)/2
c=5, b=2
c=7,b=7
けっきょく…
5252
5772

k=3
8^3*(a-3d)+8^2*(b-3c)+8*(c-3b)+(d-3a)=0
d=1 or 2
a=3,4,5 or 6,7
d-3a が8の倍数になるのは…1-9=-8, 2-18=-16
8^2*(b-3c)+8(c-3b)+(1-3*3)=0
5b=23c+1
c=3,b=15・・・無理

2-18=-16
8^2(b-3c)+8(c-3b)-16
40b-184c-16
5b-23c-2=0
b=4c+(3c+2)/5
c=1, b=5
6512

k=4
8^3(a-4d)+8^2(b-4c)+8(c-4b)+(d-4a)=0
d=1
a=4,5,6
1-4aは8の倍数になれないのでなし

k=5
d=1
a=5,6,7
1-5aが8の倍数になるのは…
a=5
8^2(b-5c)+8(c-5b)-24=0
24b-312c-24=0
b=13c+1・・・c=0,b=1
5101

k=6
d=1
a=6,7,8
1-6a は8の倍数になれない

k=7
d=1
a=7
8^2(b-7c)+8(c-7b)+(1-49)=0
8b-440c-48=0
b-55c-6=0
c=0, b=6
7601

けっきょく…
5252,5772,6512,5101,7601