アットランダム≒ブリコラージュ

11350：等差数列a(k)...Σk*a(k)>0 となる最小のn...

問題11350・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

a(n)=a(1)+(n-1)d

Σ[1〜96]a(k)=96a(1)+d*95*96/2<0

a(97)=a(1)+96*d

96a(1)+48*95*d<0

48a(1)+95d<0

a(97)=a(1)+96d

49a(1)+191d>0

a(1)*(1+2+3+…+m)

d*(2*1+3*2+…+m(m-1))

m(m+1)/2 : Σ[2〜m](k^2-k)=m(m+1)(2m+1)/6-1*2*3/6-(m(m+1)/2-1*2/2)

=m(m+1)/2 : m(m+1)(m-2)/3

m(m+1)/2<=49

m(m+1)(m-2)/3>=191

計算させると…m=9

ってなことでいいのかいなぁ ^^;

↑

芽茶やらかしてました…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

条件は「第96項までの和は負，第97項までの和は正」と言っているも同然で，
第97項までの中央の項a[49]は正，第96項までの中央(a[48]+a[49])/2は負です．
a[1]〜a[48]はすべて負であり，T[9]は当然負となります．

S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]とすると，条件より S[96]<0,S[97]>0.
公差をdとすると，d>0であり，
a[1]+a[96]=2a[1]+95d<0,a[1]+a[97]=2a[1]+96d>0より，
-48<a[1]/d<-95/2.
T[n]=a[1]+2a[2]+…+na[n]
=(1+2+…+n)a[1]+(1・0+2・1+…+n(n-1))d
=(n(n+1)/2)a[1]+((n-1)n(n+1)/3)d
=(n(n+1)d/3)(3a[1]/2d+n-1).

T[n]>0となる条件は，n>1-3a[1]/2dであり，
1+285/4<1-3a[1]/2d<1+72，つまり72.25<1-3a[1]/2d<73だから，
T[n]が正となる最小のnは，n=73.

*勉強になりましたぁ☆

>a[1]+a[96]=2a[1]+95d<0,a[1]+a[97]=2a[1]+96d>0より，-48<a[1]/d<-95/2.

が...大まかな評価に思えるも…^^;

>2.25<1-3a[1]/2d<73

と上手い具合に決定できるものですねぇ ^^

11349：旧跡...対角線でわけられた面積...

問題11349・・・淳子先生のサイト Weekend Mathematics 

http://www.junko-k.com/mondai/mondai2.htm より 引用 Orz〜

縦１cm、横１０cmの長方形のテ−プＡＢＣＤに、１cmごとにＡＢに平行に線を引いています。 対角線ＢＤを引いて、図のように斜線を入れるとき、斜線の部分の面積の和は、いくらになるでしょうか。 

解答

上記サイトより Orz〜

・図のように各頂点に名前をつけます。

これをＢＤにそってずらします。

高さは1.1cmになるので、面積は1.1×1×5=5.5cm²というわけです。

*これがスマートで好きだけど…^^

下のような方法は考えたこともなかったわ☆

・この図形を、縦に１０倍する。 すると斜線部分の面積も１０倍になる。

この図形において、斜線部分は面積１cm²の正方形が５０個、 面積１／２cm²の直角二等辺三角形が１０個、あわせて面積は５５cm²
従って、もとの斜線部分の面積は、5.5cm²である。

(ピ−タ−・フランクルのパズルより面白い中学入試の算数　講談社 より)

・鍵コメY様からのもの Orz〜

台形の高さは 1cm で、上底と下底の全部の和が 11cm であることに着目すれば簡単ですね。 

*すぐに気づけるのはさすがですねぇ♪

△=((上底=0)+下底)*高さ/2

と、台形の上底が極限の０になったものとして表現できるのですね ^^☆

11348：5乗数...

問題11348・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf ;

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

mod 10

3^5=3

4^5=4

7^5=7

n^5=4

4^5=4

(100+33)^5+(100+10)^5+(100-16)^5+(100-73)^5<4*100^5

(4*100^5)^(1/5)は100台

二桁目…

33^5=(30+3)^5=5*30*3^4+3^5=5+3=8

(80+4)^5=5*80*4^4+4^5=2+2=4

(20+7)^5=5*20*7^4+7^5=7^5=0

(10a+4)^5=5*10a*4^4+2=2

aは偶数=4,6,8 のいずれか…

ここからの同定わからず…^^;

↑

ここまででは…144,164,184に絞れてましたが…

↑

嘘でしたわ…^^; Orz…

・鍵コメY様からのもの Orz〜

n^5−n＝(n−2)(n−1)n(n＋1)(n＋2)＋5(n−1)n(n＋1) で、
(n−2)(n−1)n(n＋1)(n＋2) は 120の倍数，5(n−1)n(n＋1) は 30の倍数だから、
n^5−n は 30の倍数になり、n^5≡n (mod 30) です。
n^5＝133^5＋110^5＋84^5＋27^5 だから、
n≡133＋110＋84＋27≡13＋20＋24＋27≡24 (mod 30) です。
また、n＞133 だから、n＝144，174，204，…… が考えられますが、
実際に計算すると、
133^5＋110^5＋84^5＋27^5＝61917364224 ，144^5＝61917364224 です。

*この手から攻められることに気づけてませんでしたわ ^^;☆

・鍵コメT様からのコメ Orz〜

「144,174,204,…」と限定されたならば，
大きさを評価して，次のようにすることもできます．

174^5>((100√3)^4)*174=(9*10^8)*174>1400億，
110^5<133^5<(100√2)^4*133=(4*10^8)*133<600億，
27^5<84^5<100^5=100億
だから，n=174では大きすぎであり，n=144しかあり得ない. 

*つまり…

174^5>1400億=2*600億+2*100億>133^5+110^5+84^5+27^5

という評価が出来ちゃうんですねぇ☆

√3=1.732…を使うところはシャレてますね♪

11347：整数指数方程式...

問題11347・・・http://www5e.biglobe.ne.jp/~saionjiS/homepage/mihon22.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

yは0ではないので…

mod 10で…

x^2≡5

so…

x≡5

(2)

(10m+5)^2

=100*m^2+100*m+25

=10^y+2025

100m(m+1)=10^y+2000

100(m^2+m-20)=10^y

100(m+5)(m-4)=10^y

m=5

1000=10^y

y=3

x=55

^^

11346：碁石の個数...

問題11346・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

ご石を図のわく内に縦と横の個数の比が３：５の長方形になるように並べたところ、

２００個あまりました。そこで図のように、

ご石を下に３列、右に５列増やした大きい長方形にしようとしたところ、

１４５個足りませんでした。ご石は何個あったのでしょうか。

（２０１５年　世田谷学園中学）

解答

・わたしの…

3(5a)+5(3a)+3*5=200+145=345

30a=330

a=11

(3a)(5a)+200=15*11^2+200=1815+200=2015個

^^