アットランダム≒ブリコラージュ

11442：絶対値方程式...解の個数...

和食のデザートも今風なのね ^^

問題11442・・・http://www.junko-k.com/mondai/mondai146.htm より 引用 Orz〜

xの方程式
　　　｜2｜2｜2x-1｜-1｜-1｜＝x²
の0＜x＜1 における解の個数を求めなさい。

(問題の出典)

広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2000年ファイナル問題

解答

・むかしのわたしのもの…

左辺は直線、右辺は x² (0²=0、1²=1)なので、 左辺が、x=0 でマイナス、x=1 で1より大きいとき、左辺が0より大きく、x=1 で1より小さければ1点で交わる。
+-あるので、2³=8 個の方程式で考えればいいと思うので、、、

1. +++ のとき、
   　8x-7=x²
   　x=0 のとき、左辺= -7、x=1 のとき、左辺=1
   　つまり、x=1 の1点で交わるので、0＜x＜1 を満たさない。
   
2. ++- のとき、
   　-8x+1=x²
   　x=0 で、左辺=1、x=1 で、左辺=-7
   　つまり、0＜x＜1 の間で1点で交わる。
   
3. +-- のとき、 　8x-3=x²
   　左辺は、-3 と5 なので、1点交わる。
   
4. +-+ のとき、 　-8x+5=x²
   　左辺は、5 と-3 なので、1点交わる。
   
5. --- のとき、 　-8x+3=x²
   　左辺は、3 と-5 なので、1点交わる。
   
6. --+ のとき、 　8x-5=x²
   　左辺は、-5 と3なので、1点交わる。
   
7. -+- のとき、 　8x-1=x²
   　左辺は、-1 と7なので、1点交わる。
   
8. -++ のとき、 　-8x+7=x²
   　左辺は、7 と-1なので、1点交わる。

以上より、7点

*これも面倒そうなのに…^^

＊上記サイトより Orz〜

・(ペンネ−ム：杖のおじさん）様のもの Orz〜

答えは７通りです。

X²=｜２｜２｜２X−１|−１｜−１｜

これはY=X²とY=｜２｜２｜２X−１|−１|−１｜のグラフを描いてその交点の数を数えました。

グラフの交点は
線分 (1)A−F と (2)F−B と (3)B−G と (4)G−C と (5)C−H と (6)H−D と (7)D−I と (8)I―E の８点ですが
条件が０＜X＜１なので上記の (8)I−E を除いた７点になります。従って７通りあります。 

*グラフが描けなかったりする…^^;...

11441：5桁の数...

こういう風情好き♪

問題11441・・・http://www.junko-k.com/mondai/mondai143.htm より 引用 Orz〜

[１]，[１]，[２]，[２]，[３]，[３]，[４]，[４]，[５]，[５]と書かれた10枚のカードがある。これら10枚の中から５枚を選んで、左から右へ並べ、５桁の(正の)整数を作る。 たとえば、[１]，[１]，[２]，[３]，[４]と並べると、11234となる。 このようにしてできる５桁の整数がＭ通りあるとして、以下の問いに答えよ。

(1)Ｍの値を求め、Ｍが10の倍数であることを確認せよ。
(2)これらＭ通りの数のうち、小さいほうからＭ/2番目の数を答えよ。
(3)これらＭ通りの数のうち、小さいほうからＭ/5番目の数を答えよ。
(4)これらＭ通りの数のうち、小さいほうからＭ/10番目の数を答えよ。

(問題の出典)

広中杯ハイレベル中学数学に挑戦
算数オリンピック委員会監修
講談社ブルーバックス
2004年ファイナル問題

解答

・むかしのわたしのもの…

(1)
5!=120
₅C₁*₄C₃*5!/2!=1200
₅C₂*₃C₁*5!/2!2!=900
合計＝2220 となり、10の倍数♪

(2)
M/2 は、1,2,3,4,5 から、先頭は3
31,32,33,34,35 から、33であり、、、
331,332,334,335 から、332・・の段の最大の数だから、、、33255

(3)
M/5 番目ということは、 先頭の数は、1〜5なので、それぞれ、M/5 こずつあるはずだから、 先頭が1の一番大きい数のはず＝15544

(4)
M/10 は、1・・・・の段の中(M/5)の半分(M/5)/2 だから、、、
11,12,13,14,15 だが、11・・・は、 ₄C₃*3!+₄C₁*₃C₂* 3!/2!=24+36=60 だが、、、
12,13,14,15 は、(2220/5-60)/4=96 なので、
2220/10=222
60+96*2=252
252-222=30
つまり、13554 の30個前の数。
13554,
13553,13552,13551,13545,13544,13543,13542,13541,13535,13534,
13532,13531,13525,13524,13523,13522,13521,13515,13514,13513,
13512,13455,13454,13453,13452,13451,13445,13443,13442,13441,13435,
から、13441 

*こんな面倒そうなものを解いてたんだなぁ…^^;

11440：9進法の掛け算...

岩牡蠣とろりとろりかな ^^

問題11440・・・http://www.junko-k.com/mondai/mondai142.htm より 引用 Orz〜

９進数で表された５数８８８８、８８８７、８８８６、８８８５、８８８４の積

　８８８８×８８８７×８８８６×８８８５×８８８４

を９進法で表したときの下４桁を求めよ。

(問題の出典)

広中杯ハイレベル中学数学に挑戦　算数オリンピック委員会監修　講談社ブルーバックス

2006年トライヤル問題

解答

・むかしのわたしのもの …

8888=10000-1
8887=10000-2
8886=10000-3
8885=10000-4
8884=10000-5

8888*8887*8886*8885=(10000-1)(10000-2)(10000-3)(10000-4)(10000-5)

の下4桁は、0000-5! になるから、、、
120=9²+4*9+3 だから、
0000-143=8746　（9進法）

11439：長方形に長方形を傾けて入れる...

問題11439・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37110167.html#37110167 より Orz〜

　AB＝30 ，AD＝58 の長方形ABCDがあって、AP，ASの長さが自然数になるように、

　辺AB，BC，CD，DA上に P，Q，R，S をとり、長方形PQRSを描くとき、長方形PQRSの面積は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37124484.html より Orz〜

[解答1]

　AP＝CR＝a，BP＝DR＝b，CQ＝AS＝c，DS＝BQ＝d とすれば、a＋b＝30，c＋d＝58 、

　△APS∽△DSR だから、AP：DS＝AS：DR 、AP･DR＝AS･DS 、ab＝cd です。

　ab＝cd＝k＞0 とおけば、a，b は x²−30x＋k＝0 の解 、c，d は x²−58x＋k＝0 の解です。

　判別式は、15²−k ，29²−k であり、これが平方数です。

　15²−k が平方数だから、0≦15²−k≦224 、29²−15²＝616 を加えて、

　616≦29²−k≦840 、29²−k も平方数だから、29²−k＝625，676，729，784 、

　29²−15²＝616 を減じて、15²−k＝9，60，113，168 、

　15²−k が平方数だから、15²−k＝9 、k＝216 です。

　a，b は x²−30x＋216＝0 の解で、12 と 18 、

　c，d は x²−58x＋216＝0 の解で、4 と 54 です。

　長方形PQRS＝長方形ABCD−2△APS−2△PBQ＝30･58−ac−bd で、

　1740−12･4−18･54＝720 と 1740−12･54−18･4＝1020 です。


[解答2]

　長方形ABCD，長方形PQRSの中心は一致するので、この中心を O とします。

　また、ABの中点とPの距離を m，ADの中点とPの距離を n (0≦m＜15，0≦n＜29) とします。

　OS＝OP だから、15²＋n²＝29²＋m² 、n²−m²＝29²−15² 、

　(n＋m)(n−m)＝44･14 です。

　n＋m，n−m は 両方偶数または両方奇数で 積が偶数だから、両方偶数です。

　(n/2＋m/2)(n/2−m/2)＝2･7･11 で、0＜n/2−m/2＜n/2＋m/2＜22 だから、

　(n/2−m/2 ，n/2＋m/2)＝(14，11) 、m＝3，n＝25 です。

　長方形PQRS＝長方形ABCD−2△APS−2△PBQ

　 ＝30･58−(15＋m)(29−n)−(15−m)(29＋n)，30･58−(15＋m)(29＋n)−(15−m)(29−n)

　 ＝870±2mn＝870±2･25･3＝1020，720 です。


☆ ２種類の答の和が 長方形ABCDの面積と等しくなることは、

　 下図のように、直角三角形の部分を組み合わせれば、

　 青の部分と水色の部分の面積が等しく、赤の部分とピンクの部分の面積が等しいことから分かります。

*上手い方法わからず…^^;

無理矢理考えて…^^;
b/a=(58-a)/(30-b)
a(58-a)=b(30-b)<15^2
a^2-58a>-15^2
(a-29)^2>29^2-15^2=616
a+b<30
a<29-√616=4.18…
a=1,2,3,4
b/1=(58-1)/(30-b)・・57=b(30-b)…解なし
b/2=56/(30-b)・・・112=b(30-b)…解なし
b/3=55/(30-b)・・・165=b(30-b)…解なし
b/4=54/(30-b)・・・216=b(30-b)…12*18
so…
(a,b)=(4,12), (4,18)
青=30*58-(4*12+54*18)=720
or
=30*58-(4*18+54*12)=1020

*まだ治らない...今日はもうダメあるね…^^;

OrZzzz…

当ったり〜♪

ガリガリ君にお世話になってますのですが…

今日の食べてたら...当たり棒が!!♪

子どもじゃなくたって嬉しや ^^v

タオルマフラー？？？

届いたらまたお披露目致しまっす☆