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外に出掛ける気力/体力...0…^^;;
ルームサービスのメニューからチョイスするのもまた楽しからずや ^^♪
より 引用 Orz〜
解答
・わたしの…
C(x,y)は、(AB)+(AD)のベクトル計算で、(x,y)のx,yは整数になる…
E(z,w)は、ADを±i/√2倍したもので、AD=√2*|AB|なので、(z,w)のz,wは整数になる…
F,Hは、AB,ADを、GはAEをそれぞれ平行移動させれば、すべて整数からなる点=格子点になる。
でいいですよね…^^
・鍵コメT様からのもの Orz〜
各点はx,y,z座標をもち，複素数で処理するのは厳しいと思います．
例えば，命題は「辺長が自然数」の条件があってはじめて成立します． (例)A(0,0,0),B(1,1,0),D(1,-1,0),E(0,0,√2)となる立方体が構成できます． ベクトルをvec{AB}などのように表すとして， vec{AC}=vec{AB}+vec{AD},vec{AF}=vec{AB}+vec{AE}, vec{AG}=vec{AC}+vec{AE},vec{AH}=vec{AD}+vec{AE} が成り立つので，Eが格子点であることが示せればできあがりです． 立方体の一辺の長さをnとし，vec{AB}=(b1,b2,b3),vec{AD}=(d1,d2,d3)として， vec{AE}=±(1/n)(b2d3-b3d2,b3d1-b1d3,b1d2-b2d1). ここで，
(b2d3-b3d2)^2+(b2d2+b3d3)^2=(b2^2+b3^2)(d2^2+d3)^2より， (b2d3-b3d2)^2=(b2^2+b3^2)(d2^2+d3)^2-(b2d2+b3d3)^2 =(n^2-b1^2)(n^2-d1^2)-(b2d2+b3d3)^2 =n^4-(b1^2+d1^2)n^2+(b1d1)^2-(b2d2+b3d3)^2 =n^4-(b1^2+d1^2)n^2+(b1d1+b2d2+b3d3)(b1d1-b2d2-b3d3). b1d1+b2d2+b3d3=vec{AB}・vec{AD}=0だから， (b2d3-b3d2)^2はn^2の倍数であり，b2d3-b3d2はnの倍数． したがって，vec{AE}のx成分は整数． 同様に，y,z成分も整数となるから，Eは格子点である． 以上により示された． *球面上の3点A,B,Dが格子点なら…対称性から…
すべて立方体の頂点は格子点とは言えないのか知らん…^^;…?
・鍵コメT様からのコメ Orz〜
「辺長が自然数でなく，すべての頂点が格子点である立方体があるか」
について，2つコメントします． [1] こうした立方体があるかないかは， 『辺長が自然数』の条件を除いた命題の真偽とは関係がありません． 「3頂点A,B,Dが格子点」を大前提と見ると，命題は 「立方体の辺長が自然数ならば，すべての頂点は格子点」と言う主張です． つまり，命題「すべての頂点は格子点ならば立方体の辺長は自然数」は， 題意の命題の逆であり，題意の命題の真偽とは独立に真偽をとります． [2] 辺長が自然数でなく，すべての頂点が格子点の立方体は存在しません． 前のコメントで示した vec{AE}=±(1/n)(bsd3-b3d2,b3d1-b1d3,b1d2-b2d1)において， 辺長nは√(b1^2+b2^2+b3^2)と表され，√(自然数)となるので， これが自然数でなければ，nは無理数となります． したがって，vec{AE}の各成分は無理数の整数倍であり， すべてを0にはできないので，Eは格子点とはなり得ないことがわかります． さらに，「辺長が自然数とは限らないとき，
A,B,Dが格子点であってもすべての頂点が格子点とは限らない」 ということは， 「対称性からすべて立方体の頂点は格子点」とは言えないことは明らかですね． A,B,Dに加えて，「立方体の外接球の中心が格子点」…(*)であるなら，
当然，各頂点は格子点になります． A(0,0,0),B(1,1,0),D(1,-1,0),E(0,0,√2)の例を考えれば， 外接球の中心は(1,0,(√2)/2)であり，(*)は不成立です． つまり，立方体の頂点で，正方形の3頂点をなすものが格子点であっても， 他の条件がなければ，すべての頂点が格子点とは言えません． *グラッチェでっす〜m(_ _)m〜♪
わたしゃアホなこと思ってました…^^;;...
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コメント（4）
