アットランダム≒ブリコラージュ

11367：3^n≡1 mod 1000...

グレープフルーツジュースのトマトジュース割りを作ってみた ^^v

いけました♪

問題11367(友人問)

10進法で表したとき最後が001で終わる3のベキ乗があることを示せ。

解答

・わたしの…

オイラーの定理から…

3^φ(1000)≡1　mod 1000

φ(1000)=φ(2^3*5^3)=φ(2^3)*φ(5^3)

=(2^3-2^2)*(5^3-5^2)

=4*100

=400

so…

3^400≡1　mod 1000

so…

3の(400の倍数)乗が満たす ^^

オイラーの定理は天下りですが…^^;

・鍵コメT様からの汎用的解法 Orz〜☆

具体的に求めずに結論を得ることもできます．

3^nの下3桁をf(n)とします．ただし，f(0)=1と定めます．
f(n+1)は3f(n)の下3桁と一致し，f(n)が定まると，f(n+1)も決まります．
また，667*3=2001なので，
f(n)は667f(n+1)の下3桁と一致し，f(n+1)が定まると，f(n)も決まります．

ここで，f(n)の値は0から999以外はあり得ず，
f(0)からf(1000)のうちには必ず値の等しい2つが存在し，
f(a)=f(b) (0≦a<b≦1000)とすると，
(a≧1ならば) f(a-1)=f(b-1)，(a≧2ならば) f(a-2)=f(b-2)，…
となって，f(b-a)=f(0)=1を得ます．

*わたしゃこれだけじゃすぐわからず…^^;

・鍵コメT様からの追加コメ頂戴〜Orz〜

f(n+1)が定まるとf(n)も決まるので，
f(a-1)はf(a)から定まり，f(b-1)はf(b)から定まるわけで，
f(a)=f(b)であれば，f(a-1)=f(b-1)が言えますね．

*これで晴れて頂上が見えたと思ったのも束の間…^^;

・鍵コメT様からのコメが…Orz…

「f(a)=f(a-1)」ではありません．

*？...また...麓まで転げ落ちちゃいました…^^;;…

・鍵コメT様からの解説ぅ〜Orz〜

例えば，f(10)=f(110)=49なのですが，
これより，f(9),f(109)はともに49*667の下3桁と同じで683，
f(8),f(108)はともに683*667の下3桁と同じで563
のように遡っていくことができ，f(100)=f(0)とわかります．
f(0)=1なので，f(100)=1です．
(が，f(110)=f(109)ではありませんね．)

*グラッチェ〜^^♪

667が見つけられるところが第１の要所でしたのね☆

OrZzzz….

・友人から届いたもの…

*こんな言い方でよいのですねぇ…^^;

狐につままれた感じ...

11366：同じ色のガムを揃える…クイズ...

サバの床煮…糠漬けらしい…美味し☆

問題11366・・・http://www.junko-k.com/mondai/mondai43.htm より 引用 Orz〜

ジョ−ンズ夫人が双子を連れてガムの自動販売機の前を通りかかりました。

1. 

双子その１：ママ、ガムがほしいよ−

双子その２：ぼくも−ママ、ビリ−と同じ色のガムをちょうだい

ガムの自動販売機の中には、赤が６個、白が４個しか残っていません。

ジョ−ンズ夫人は同じ色のガムを２個買いたいのですが、確実に同じ色のガム２個を買うには何セント 用意すればいいでしょうか。ガムは１個１セントです。

2. 

今度は自動販売機の中に赤いガム６個、白いガム４個、青いガム５個があったとすると、 同じ色のガム２個を手に入れるには最高何セント必要でしょうか

3. 

今度は自動販売機の中には、赤いガム６個、白いガム４個、そして青いガムが１個だけ入っています。 スミス夫人が三つ子のために同じ色のガム３個を手に入れるためには、 最高何セント用意しなければならないでしょうか？

(問題の出典)

別冊サイエンス　ひらめき思考　マ−チン・ガ−ドナ−　日経サイエンス社

解答

デジャヴー ^^

・わたしの…

(1)

３回買えば…必ずいずれか２個は揃いますね ^^

(2)

4回買えば，必ず２個揃いますね ^^

(3)

4回で赤か白２個揃うので，もう1回買えば揃いますね ^^

↑

(3)...わたしゃ何考えてたんだろ…^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(3) 5回だと，赤2，白2，青1となる可能性があります．
確実に同色が3個揃うためには，6回買う必要があり，6セントとなりますね．

*最悪のケースを考えてなかったのでした…^^;;...