アットランダム≒ブリコラージュ

11548：直交する直線上の△...

問題11548・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図のように，ＡＢとＣＤは点０で直角に交わっています。

三角形ＯＡＣと三角形ＯＢＤの面積の和が３０ｃ㎡，

三角形ＯＢＥと三角形ＯＡＦの面積の和が１４ｃ㎡のとき，

ＡＢの長さを求めなさい。

（市川中学　２０１１年）

解答

デジャヴー…

・わたしの…

AO*7+BO*10=60

AO*3+BO*5=28

AO=60-56=4

BO=(60-28)/10=3.2

so…

AB=7.2 cm

^^

もっとスマートに出せないか知らん…?

11547：計算...分数の掛け算...

問題11547・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

（函館ラ・サール中学　2012年 ）

解答

・わたしの…

(22/21)*(23/22)*…*(31/30)=31/21

ね ^^

11546：扇形二種...

問題11546・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

対角線の長さが１０ｃｍの正方形Ａがあります。

その１辺を半径とするおうぎ形Ｂと、

対角線を半径とするおうぎ形Ｃを図のように作ります。

（ア）２つのおうぎ形の面積の比を求めなさい。

（イ）２つのおうぎ形の面積の差を求めなさい。

（ラ・サール中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

(ア)

r^2=10*(10/2)*(1/2)*2=10^2/2

黄=(3/4)*(10^2/2)*π

緑=10^2*(1/8)*π

so…

黄：緑=3：1

(イ)

so…

差=(3-1)/3*黄

   =(2/3)*300/8*π

　 =200/8*π

　 =314/4

   =78.5 cm^2

^^

11545：結晶みたいな□...

問題11545・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37182102.html#37183026 より Orz〜

　図のように、AB＝5，BC＝CD＝20，DA＝10 である四角形ABCDがあります。

　∠EAB＝∠DAF，∠ECB＝∠DCF となるように、対角線DB上に点F，DBの延長上に点E をとるとき、 

　長さの比 AE：EC：CF：FA＝？　更に、EB＝BD であるとき、(EB，BF，FD)＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37196738.html より Orz〜

　△AEB：△AFD＝AE･AB：AF･AD＝EB：FD 、△CEB：△CFD＝CE･CB：CF･CD＝EB：FD だから、

　AE･AB：AF･AD＝CE･CB：CF･CD 、5AE：10AF＝20CE：20CF 、AE･CF＝2AF･CE です。

　△AEF：△ABD＝AE･AF：AB･AD＝EF：BD 、△CEF：△CBD＝CE･CF：CB･CD＝EF：BD だから、

　AE･AF：AB･AD＝CE･CF：CB･CD 、AE･AF：50＝CE･CF：400 、CE･CF＝8AE･AF です。

　AE･CF＝2AF･CE ，CE･CF＝8AE･AF を辺々乗じて、AE･CF･CE･CF＝16AF･CE･AE･AF 、

　CF²＝16AF² 、CF＝4AF 、

　AE･CF＝2AF･CE に代入して、AE･4AF＝2AF･CE 、CE＝2AE です。

　ここで、2cos∠EAF＝2cos∠DAB だから、

　(AE²＋AF²−EF²)/(AE･AF)＝(AB²＋AD²−BD²)/(AB･AD) 、

　△AEF：△ABD＝AE･AF：AB･AD＝EF：BD と併せて、

　(AE²＋AF²−EF²)/EF＝(AB²＋AD²−BD²)/BD 、

　同様に (CE²＋CF²−EF²)/EF＝(CB²＋CD²−BD²)/BD 、

　辺々減じて、(CE²＋CF²−AE²−AF²)/EF＝(CB²＋CD²−AB²−AD²)/BD 、

　(4AE²＋16AF²−AE²−AF²)/EF＝(20²＋20²−5²−10²)/BD 、

　(3AE²＋15AF²)/EF＝675/BD 、(3AE²＋15AF²)/(AE･AF)＝675/(AB･AD) 、

　(AE²＋5AF²)/(AE･AF)＝225/(5･10) 、(AE²＋5AF²)/(AE･AF)＝9/2 、

　2(AE²＋5AF²)＝9AE･AF 、(AE−2AF)(2AE−5AF)＝0 、AE＝2AF または 2AE＝5AF です。

　AE＝2AF のとき CE＝2AE＝4AF＝CF となり、適しません。

　2AE＝5AF のとき AE＝5AF/2 ，CE＝2AE＝5AF になり、CF＝4AF だから、

　AE：EC：CF：FA＝5AF/2：5AF：4AF：AF＝5：10：8：2 です。


　また、EB：FD＝△AEB：△AFD＝AE･AB：AF･AD＝(5AF/2)･5：AF･10＝5：4 になりますので、

　EB＝BD であるとき、EB：BF：FD＝5：1：4 です。

　更に、パップスの中線定理により、

　AE²＋AD²＝2EB²＋2AB² ，CE²＋CD²＝2EB²＋2CB² 、

　4AE²＋4･10²＝8EB²＋8･5² ，4AE²＋20²＝2EB²＋2･20² 、

　辺々減じて、0＝6EB²−600 、EB＝10 です。

　EB：BF：FD＝5：1：4 と併せて、(EB，BF，FD)＝(10，2，8) です。


☆ EB＝BD であるとき、 AE²＋AD²＝2EB²＋2AB² 、

　AE²＋10²＝2･10²＋2･5² 、AE²＝150 、

　AE＝5√6 ，EC＝10√6 ，CF＝8√6 ，FA＝2√6 になります。

*やどかりさんとこの過去問[549]を参考に考えました ^^;

[546]を参考に，ぐちゃぐちゃやってたら...以下の値が求まりました ^^;
AE：EC：CF：FA=5：10：8：2

BE=20*10
DF=20*8
so…EB：BF：FD=10：2：8

20^2:(8t)*(10t)=10:12
t=√6

20^2+6*8^2-2*20*8√6*x=(8y)^2 ,
20^2+6*10^2-2*20*10√6*x=(10y)^2
を解くと、y=1
so…
(EB，BF，FD)=(10,2,8)

11544：得点推理…クイズ...

問題11544・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

春香さん、夏恵さん、秋代さん、冬子さんの４人が

10点満点のテス トを受けました。

問題は配点が１〜４点が１問ずつの計４問ですが、

第１問は１点ではなく、

第２問は２点ではなく、

第３問は３点ではなく、

第４問は４点ではありません。

問題はどれもＡかＢのどちらかで答えるもので、

正解は必ずそのどちらか１つになっています。

４人が答案に書いた解答と得点が下の表のようであるとき、

冬子さんの得点を求めなさい。

（２００６年算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

・わたしの…

2段目と3段目から考えて…

試行錯誤で ^^;