アットランダム≒ブリコラージュ

11616：最大公約数…整式...

問題11616・・・http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/cat_50027674.html ;

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

n^3-5n^2+6n-n(n^2+5)

=-5n^2+n

n(-5n+1) と n^2+5 の最大公約数

n^2+5-5n+1

=n^2-5n+6

=(n-2)(n-3)

=0

so…

n=2 のとき満たす…

でいいのかいなぁ…^^;

↑

ウソでした…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

g(x,y)で，x,yの最大公約数を表すとする．
a=n^3-5n^2+6n，b=n^2+5
に対して，
c=a-(n-5)b=n+25，d=b-(n-25)c=630
とすると，
g(a,b)=g(b,c)=g(c,d)であり，g(a,b)≦630.
等号は，n+25が630の倍数のときに成り立つ．

ということで，d=630であり，d[n]=dとなる最小の正の整数nは，n=605です．

11615：条件を満たす二桁の整数の個数...

問題11615・・・http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/cat_50027674.html ;

より 引用 Orz〜

(2005年日本数学オリンピック予選問題　第一問)

解答

・わたしの…

3a+2=5b+3

3a-5b=1

(a,b)=(2,1)

3*2-5*1=1

3*(5m+2)-5*(3m+1)=1

3*(5m+2)+2=15m+8

10<=15m+8<=99

2<=15m<=91

0<=m<=6

so…7個

ね ^^

↑

ミスってました…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのコメより Orz〜

m=0に対応する「8」は，1桁だから適さず，結論は6個です．

問題11099ですね．

以下のサイト参照ぉ〜^^☆

http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/MYBLOG/yblog.html?fid=0&m=lc&sk=0&sv=11099

11614：異なる4個の一桁の数字の最小公倍数の最大値...

画像：http://corobuzz.com/archives/7592 より 引用 Orz〜

*ナイスですねぇ♪

君と僕 ^^

わたしと他者…ラカン的…?

生者と死者…レヴィナス的…?

問題11614・・・http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/cat_50027674.html ;

より 引用 Orz〜

(2008年日本数学オリンピック予選問題　第一問)

解答

・わたしの…

素直に…

5*7*8*9=2520

ですね ^^

11613：折り紙の切り紙…パズル…認知症チェック!!?

画像：http://corobuzz.com/archives/7592 より 引用 Orz〜

*発想は自由がいいのです ^^☆

問題11613・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように正方形の紙を折り、斜線部分を切り取ります。

この紙を広げると（ア）〜（オ）のどれになりますか。

（聖セシリア女子中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

空間認識の練習になりますかね ^^

長谷川式に取って替えられそうな気も…?

(イ)ですね ^^

11612：袋から2個取り出すとき赤白である確率...

問題11612・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37200331.html#37200331 より Orz〜

　赤球 30 個，白球 87 個の 計 117 個の球が入った袋から 無作為に２球を取り出すとき

　２球の色が異なる確率を p とするとき、p＝？

　また、m＜n ，m＋n＜117 として、

　赤球ｍ個，白球ｎ個の 計 m＋n 個の球が入った袋から無作為に２球を取り出すとき

　２球の色が異なる確率が p であるとき (m，n)＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37214347.html より Orz〜

　赤球ｍ個，白球ｎ個が入った袋から無作為に２球を取り出すとき ２球の色が異なる確率は、

　mn/_m+nＣ₂＝2mn/｛(m＋n)(m＋n−1)｝ だから、

　p＝2･30･87/（117･116）＝5/13 です。

　2mn/｛(m＋n)(m＋n−1)｝＝5/13 だから、26mn＝5(m＋n)(m＋n−1) 、

　m＋n ，m＋n−1 のいずれかは 13 の倍数です。

　m＋n が 13 の倍数のとき、m＋n＝13k (k≦8) とすれば、

　26mn＝5(m＋n)(m＋n−1) より 26mn＝5･13k(13k−1) 、mn＝5k(13k−1)/2 、

　(m−n)²＝(m＋n)²−4mn＝169k²−10k(13k−1)＝k(39k＋10) 、

　この式において、(k，(m−n)²)の組は、

　(1，49)，(2，2･88)，(3，3･127)，(4，4･166)，(5，5･205)，(6，6･244)，(7，7･283)，(8，8･322) 、

　(m−n)² が平方数になるのは (k，(m−n)²)＝(1，49) のときで、

　m−n＝−7，m＋n＝13k＝13 だから、(m，n)＝(3，10) です。

　m＋n−1 が 13 の倍数のとき、m＋n−1＝13k (k≦8) とすれば、

　26mn＝5(m＋n)(m＋n−1) より 26mn＝5･(13k＋1)･13k 、mn＝5k(13k＋1)/2 、

　(m−n)²＝(m＋n)²−4mn＝169k²＋26k＋1−10k(13k＋1)＝(3k＋1)(13k＋1) 、

　この式において、(k，(m−n)²)の組は、

　(1，4･14)，(2，7･27)，(3，10･40)，(4，13･53)，(5，16･66)，(6，19･79)，(7，22･92)，(8，25･105) 、

　これが平方数になるのは (k，(m−n)²)＝(3，10･40) のときで、

　m−n＝−20，m＋n＝13k＋1＝40 だから、(m，n)＝(10，30) です。


[参考1]

　26mn＝5(m＋n)(m＋n−1) より、m，n の少なくとも一方は５の倍数です。

　５の倍数の方を 5k，他方を x とすれば、

　26･5k･x＝5(x＋5k)(x＋5k−1) 、26kx＝(x＋5k)(x＋5k−1) 、

　x²−(16k＋1)x＋5k(5k−1)＝0 、その解の和は 16k＋1 です。

　(m，n)＝(30，87) が解だから、5k＝30 とすれば解の和は 16k＋1＝97 、

　x＝87 は解だから x＝10 も解、(m，n)＝(10，30) も解です。

　(m，n)＝(10，30) が解だから、5k＝10 とすれば解の和は 16k＋1＝33 、

　x＝30 は解だから x＝3 も解、(m，n)＝(3，10) も解です。

　全部という保証はありませんが、該当する(m，n)が求められます。


[参考2]

　x²−(16k＋1)x＋5k(5k−1)＝0 の判別式 52k(3k＋1)＋1 が平方数になるものを

　k≦2000000 の範囲でプログラムで求めると以下のようになります。

　　k＝2 ，(m，n)＝(3，10)，(10，30)

　　k＝6 ，(m，n)＝(10，30)，(30，87)

　　k＝108 ，(m，n)＝(189，540)，(540，1540)

　　k＝308 ，(m，n)＝(540，1540)，(1540，4389)

　　k＝5406 ，(m，n)＝(9487，27030)，(27030，77010)

　　k＝15402 ，(m，n)＝(27030，77010)，(77010，219403)

　　k＝270200 ，(m，n)＝(474201，1351000)，(1351000，3849000)

　　k＝769800 ，(m，n)＝(1351000，3849000)，(3849000，10965801)

*とにかく地道に…^^;

(30*29+87*86)/(117*116)=8/13
so…p=1-8/13=5/13

分子が13になる場合を考えて具体的に計算してみた…^^;
so…
(m(m-1)+(13-m)(12-m))/(13*12)=8/13
から…m=3
(m(m-1)+(40-m)(39-m))/(40*39)=8/13
から…m=10
so…
(m,n)=(3,10), (10,30)