アットランダム≒ブリコラージュ

12780：長方形の折り紙...重なった面積…^^;

問題12780・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66203369.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

tanθ=32/63

tan(2θ)=(2*32/63)/(1-(32/63)^2)=4032/2945

tanβ=2945/4032

so…

重なった部分=32*63/2-32^2*(2945/4032)/2=39944/63 cm^2

という奇麗でない値になってしまったけど…^^;

*算数だったらどうするんでっしゃろ…?...

12779：1〜2016を並べて書くときの真ん中の数字は？…パズル ^^

問題12779・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66204504.html より 引用 Orz〜

１から2016の整数が並んでいます。

12345678910111213・・・・20152016

前から［コ］番目の数がちょうど真ん中です。
また、その数字は［サ］です。

(う山先生からの挑戦状（数論))

解答

・わたしの…

1〜9・・・9個

10〜99・・・90

100〜999・・・900

1000〜2016・・・1017

so…

1*9+2*90+3*900+4*1017=6957

so…

6958/2=3479 番目

9+2*90+3*900=2889

so…

3479-2889=590

590/4=147…2

so…

147番目が1146なので…その後は11(47) だから…

1ですね ^^

12778：漸化式で表される数列...

問題12778・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37625163.html#37625163 より Orz〜

　漸化式 a_2n-1＝3a_n-1＋a_n ，a_2n＝a_n-1＋3a_n (n＝2，3，4，……) で表される数列｛a_n｝において、

　a₂＝3 ，a₂₃＝276 であれば、第46項 a₄₆＝？　また、初項から第46項までの和は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37637787.html より Orz〜

　a₁＝a とすれば、 a₃＝3a₁＋a₂＝3a＋3 ，a₅＝3a₂＋a₃＝3a＋12 ，a₆＝a₂＋3a₃＝9a＋12 ，

　a₁₁＝3a₅＋a₆＝18a＋48 ，a₁₂＝a₅＋3a₆＝30a＋48 ，a₂₃＝3a₁₁＋a₁₂＝84a＋192 だから、

　84a＋192＝276 、a＝1 ですので、

　a₁＝1 ，a₂＝3 ，a₃＝6 ，a₅＝15 ，a₆＝21 ，a₁₁＝66 ，a₁₂＝78 ，a₂₃＝276 、

　a₄＝a₁＋3a₂＝10 ，a₁₀＝a₄＋3a₅＝55 ，a₂₂＝a₁₀＋3a₁₁＝253 ，a₄₆＝a₂₂＋3a₂₃＝1081 と求められ、

　a_n＝n(n＋1)/2 と推測されます。

　a₁＝1 ，a₂＝3 より n＝1，2 のときは a_n＝n(n＋1)/2 は成り立ちます。

　n＝k−1，k のとき a_n＝n(n＋1)/2 が成り立つことを仮定すれば、

　 a_k-1＝(k−1)k/2 ，a_k＝k(k＋1)/2 であり、 

　 a_2k-1＝3a_k-1＋a_k＝3(k−1)k/2＋k(k＋1)/2＝(4k−2)k/2＝(2k−1)･2k/2 、

　 a_2k＝a_k-1＋3a_k＝(k−1)k/2＋3k(k＋1)/2＝(4k＋2)k/2＝2k･(2k＋1)/2 、

　n＝2k−1，2k のとき a_n＝n(n＋1)/2 が成り立ちます。

　よって、すべての自然数ｎについて、a_n＝n(n＋1)/2 が成り立ちます。

　これを確かめておけば、a₄₆＝46･47/2＝1081 です。

　また、a_k＝k(k＋1)/2＝−(k−1)k(k＋1)/6＋k(k＋1)(k＋2)/6 だから、

　k＝1，2，3，……，n として加えると、

　a₁＋a₂＋a₃＋……＋a_n＝n(n＋1)(n＋2)/6 になり、

　a₁＋a₂＋a₃＋……＋a₄₆＝46･47･48/6＝17296 です。


[参考1]

　a_n＝n(n＋1)/2＝_nＨ₂ なので、a₁＋a₂＋a₃＋……＋a_n＝₁Ｈ₂＋₂Ｈ₂＋₃Ｈ₂＋……＋_nＨ₂ です。

　これは、1，2，3，……，n から重複を許して３個を選ぶのに、

　最大数が 1，2，3，……，n である場合を別々に計算したときの和を表すので、

　a₁＋a₂＋a₃＋……＋a_n＝_nＨ₃＝n(n＋1)(n＋2)/6 です。


[参考2]

　三角数 a_n が、漸化式 a_2n-1＝3a_n-1＋a_n ，a_2n＝a_n-1＋3a_n を満たすことは、上の図から明らかです。

*[参考1]はよくわかりませんが…^^;

[参考2]で漸化式の意味がわかりましたわ☆

・わたしゃ地道に…

帰納的な証明もしない/できないまま…^^;

1,3,6,10,15,21,28,36,…
so…
a(n)=Σ[k=1〜n] k=n(n+1)/2
a(46)=46*47/2=1081 
Σ[k=1〜n] k(k+1)/2=n(n+1)(n+2)/6
so…
n=46のとき…
46*47*48/6=1081*16=17296

12777：完全順列…6人...

アンパンマンと自分とがまだ未分化な時期…?…

アンパンマンは自分のお友達だと疑うことを知らぬpureな頃…^^

問題12777・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66204705.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

f(1)=0

f(2)=2!-1=1

f(3)=3!-3*f(2)-3C2*f(1)-3C3*1=2

f(4)=4!-4*f(3)-4C2*f(2)-1=24-8-6-1=9

f(5)=5!-5*f(4)-5C2*f(3)-5C3*f(2)-1=120-45-20-10-1=44

f(6)=6!-6*f(5)-6C2*f(4)-6C3*f(3)-6C4*f(2)-1=720-6*44-15*9-20*2-15*1-1=265通り

いつもこの方法しか思いつけない…^^;

撹乱数列、完全順列、モンモール数とも呼ばれてるものですね ^^

ピエール・モンモールの画像が見つからない…?...