アットランダム≒ブリコラージュ

13527：規則計算...ルジャンドル指標…その5

雨上がりの公園の山鳥...結構近くまで来る...人間を警戒してないようです ^^

見えるかなぁ…^^;

問題13527・・・http://deztec.jp/x/05/faireal/faireal-15-index.html より 引用 Orz〜

x² ≡ 3 (mod 23977) …… ① には解があるか？

x² ≡ 23977 (mod 3) …… ② には解があるか？

*23977は prime numberです。

解答

・わたしの…

23977≡1 mod 4・・・so…(23997-1)/2=偶数

so…(3/23977)(23977/3)=1

23977≡1　mod 3

(23977/3)=(1/3)=1

so…

(3/23977)も1

つまり…

どちらも平方剰余…解がある ^^

・上記サイトより Orz〜

*ガウスの平方剰余の相互法則

(q/p)(p/q)=(-1)^((p-1)/2*(q-1)/2)

からわかりますね ^^

13526：規則計算...ルジャンドルの指標…その4...

霧の竜王山 ^^

問題13526・・・http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/2145_o4.htm より 引用 Orz〜

(1)

２５７は素数６４１を法とする平方剰余か？　すなわち

　　ｘ^2＝２５７　　（ｍｏｄ ６４１）

を満たす自然数は存在するか？

(2)

２８２は素数１５９７を法とする平方剰余か？

解答

・わたしの…

(1)

257も素数...

ルジャンドル指標の

(257/641) を計算すればいいのだけれど…

まず解答でお勉強…^^;

・上記サイトよりOrz〜

「（ａ／ｐ）=ａ^{(p-1)/2} (mod p)　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）=（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

　　（２／ｐ）=（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．

オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，

ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．それに対して，

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）=（−１）^{(p-1)/2}{(ｑ-1)/2}

が有名なガウスの平方剰余の相互法則です．」

（２５７／６４１）＝（６４１／２５７）＝（１２７／２５７）＝（２５７／１２７）

＝（３／１２７）＝−（１２７／３）＝−（１／３）＝−１．よって，平方非剰余．

(641-1)/2=偶数

(127-1)/2=奇数

(257-1)/2=偶数

(3-1)/2=奇数

からなのですね...ふむふむ…^^;…

(2)

(282/1597)=(2/1597)(3/1597)(47/1597)

(2/1597)=(-1)^(1597^2-1)/8)

1597/8=199…25

so…

(-1)^(25-1)/8=-1

so…

(2/1597)=-1

(3/1597)…(1597-1)/2=798=偶数

so…(3/1597)(1597/3)=1

so…

(3/1597)=1

(47/1597)=1

so…これらの積=-1で平方非剰余・・・のはずだけど...答と違う…^^;…?

13525：ルジャンドル指標の計算の疑問(没問)…^^;

問題13525(質問)

(7/3)=(1/3)=1

ですが…

(7/3)=(-1)^((7-1)/2)*(3-1)/2)=-1

と相容れません…^^;

どう考えればいいのか乞うご教授〜m(_ _)m〜

*そもそもしたの式なんて定義されてないものでした…Orz…

没問…^^;;

解答

・自問自答…

(7/3)*(3/7)=(-1)^((7-1)/2*(3-1)/2)=-1

というだけのことでしたのね ^^;

(7/3)=(1/3)=1

so…

(3/7)=-1

がわかるだけのことでしたわ…Orz〜

13524：規則計算…ルジャンドル指標…その3

問題13524・・・http://www.xmath.ous.ac.jp/~ike/2010Enzan2/2010Enzan2-14(RecipLaw).pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

3は4m+1型でないので…

(-1)^((3-1)/2*(p-1)/2)) は…

-(-1)^((p-1)/2) に依存する…

p=6m+1,6m+5

これらが 4k+1なら-1, 4k+3なら 1

so…

12m+1 or 12m+5・・・p≡+1 or +5　mod 12 のとき-1

12m+7, 12m+11・・・p≡-1 or -5・・・のとき 1

になると思うのですけど…?...

13523：規則計算…ルジャンドル指標…その2

問題13523・・・http://www.xmath.ous.ac.jp/~ike/2010Enzan2/2010Enzan2-14(RecipLaw).pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

(37/103)=(103/37)=-(8/37)=-(2/37)=-(-1)^((37^2-1)/8)=-1

(2)

(41/103)=(103/41)=(23/41)=(41/23)=(5/23)=(23/5)=-(2/5)=-(-1)^((5^2-1)/8)=-(-1)^3=1

(3)

(15/61)=(3/61)(5/61)=(61/3)(61/5)=(1/3)(1/5)=1

(4)

(67/127)=-(127/67)=(7/67)=-(67/7)=(3/7)=-(7/3)=-(1/3)=-1

のはずね ^^