|
半径が 2 の円に内接する四角形ABCDがあり、AD＝2√2 ，BC＝√6−√2 であるとき、
四角形ABCDの面積 S の範囲は？ (＜，≦ を用いて表して下さい) また、≦ の等号が成り立つときの弧の長さの比、弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝？ 解答
上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37946801.html より Orz〜
[解答1]
円の直径は 4 なので、AD/4＝(√2)/2＝sin45ﾟ＝sin135ﾟ だから、弧ADの円周角は 45ﾟ，135ﾟ 、 BC/4＝(√6−√2)/4＝sin15ﾟ だから、弧BCの円周角は 15ﾟ です。 ( 165ﾟ は ADの円周角を加えると 180ﾟ を越すので不適です。) ここで、弧ABの円周角をα，弧CDの円周角をβとします。 弧ADの円周角が 45ﾟ のとき、α＋β＝120ﾟ ですので、 S＝(1/2)･2･2･sin2α＋(1/2)･2･2･sin30ﾟ＋(1/2)･2･2･sin2β＋(1/2)･2･2･sin90ﾟ ＝2sin2α＋1＋2sin2β＋2＝4sin(α＋β)cos(α−β)＋3＝4sin60ﾟcos(α−β)＋3 ＝(2√3)cos(α−β)＋3 、 ここで、−120ﾟ＜α−β＜120ﾟ 、(2√3)cos120ﾟ＋3＜S≦(2√3)cos0ﾟ＋3 、3−√3＜S≦2√3＋3 で、 等号が成り立つのは、α＝β＝60ﾟ のときだから、 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝60ﾟ：15ﾟ：60ﾟ：45ﾟ＝4：1：4：3 です。 弧ADの円周角が 135ﾟ のとき、α＋β＝30ﾟ ですので、 S＝(1/2)･2･2･sin2α＋(1/2)･2･2･sin30ﾟ＋(1/2)･2･2･sin2β＋(1/2)･2･2･sin270ﾟ ＝2sin2α＋1＋2sin2β−2＝4sin(α＋β)cos(α−β)−1＝4sin30ﾟcos(α−β)−1 ＝2cos(α−β)−1 、 ここで、−30ﾟ＜α−β＜30ﾟ 、2cos30ﾟ−1＜S≦2cos0ﾟ−1 、√3−1＜S≦1 で、 等号が成り立つのは、α＝β＝15ﾟ のときだから、 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝15ﾟ：15ﾟ：15ﾟ：135ﾟ＝1：1：1：9 です。 よって、S の範囲は √3−1＜S≦1，3−√3＜S≦2√3＋3 、 S＝1 が成り立つのは 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝1：1：1：9 のとき、 S＝2√3＋3 が成り立つのは 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝4：1：4：3 のときです。 [解答2] 円の直径は 4 なので、AD/4＝(√2)/2＝sin45ﾟ＝sin135ﾟ だから、弧ADの円周角は 45ﾟ，135ﾟ 、 BC/4＝(√6−√2)/4＝sin15ﾟ だから、弧BCの円周角は 15ﾟ です。 ( 165ﾟ は ADの円周角を加えると 180ﾟ を越すので不適です。) BD//CE となるように、円周上に 点Eをとれば、△BCD≡△DEB だから、 弧BC＝弧DE ，弧CD＝弧BE であり、弧DEの円周角は ∠DAE＝15ﾟ で、 S＝△ABD＋△BCD＝△ABD＋△DEB＝△AED＋△ABE です。 弧ADの円周角が 45ﾟ のとき、∠ADE＝120ﾟ，∠ABE＝60ﾟ、 △AED＝(1/2)(2√2)(√6−√2)sin120ﾟ＝3−√3 、 △ABEの最大値は AB＝BE のとき すなわち △ABEが正三角形のときの面積で 3√3 、 よって、S の範囲は 3−√3＜S≦3−√3＋3√3＝2√3＋3 、 弧AB：弧DE：弧BE：弧DA＝60ﾟ：15ﾟ：60ﾟ：45ﾟ＝4：1：4：3 です。 弧ADの円周角が 135ﾟ のとき、∠ADE＝30ﾟ，∠ABE＝150ﾟ、 △AED＝(1/2)(2√2)(√6−√2)sin30ﾟ＝√3−1 、 △ABEが最大となるのは AB＝BE のときで 円周角は 15ﾟ だから AB＝BE＝ED のときで、 四角形ADEBは、等辺が 2 で、頂角が 30ﾟ の二等辺三角形３個から 頂角が 90ﾟ の二等辺三角形１個を除いたもので、その面積は 1 です。 よって、S の範囲は √3−1＜S≦1 、 弧AB：弧DE：弧BE：弧DA＝15ﾟ：15ﾟ：15ﾟ：135ﾟ＝1：1：1：9 です。 よって、S の範囲は √3−1＜S≦1，3−√3＜S≦2√3＋3 、 S＝1 が成り立つのは 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝1：1：1：9 のとき、 S＝2√3＋3 が成り立つのは 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝4：1：4：3 のときです。 *さいしょ...2つの場合に分けられることに気付けず…^^;
((√2+√6+x)/2)((√2+√6+x)/2-2√2)((√2+√6+x)/2-√6+√2)((√2+√6+x)/2-x)=(√6-√2)^2*x^2/8
から、2,2√3が出て来ますが、最小の2の方で…Min{S}=√3-1より大きく…Max{S}は台形のとき… 2^2-(√2)^2=2…√2 2^2-((√6-√2)/2)^2=2+√3…(√6+√2)/2 so…面積=(√6+√2)^2/4=2+√3=Max{S} cos^(-1)((√6+√2)/4)=15°…30°,90°,120°,120° so...弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝4:1:4:3… その後...
Max{S}...
2^2*(sin90°+2*sin120°+sin30°)/2 =2*(1+√3+1/2) =3+2√3=Max{S} Min{S}も…2辺が(90°-15°)-45°=30° or 75°+45°=120°から… sin60°>sin30°にて... √2*(√6-√2)*sin30°=(2√3-2)*(1/2)=√3-1=Min{S} ちなみに... √2*(√6-√2)*sin60°=(2√3-2)*(√3/2)=3-√3 けっきょく…√3-1<S ≦3+2√3 ADでできる小円弧側にBCがあれば…
45°-15°=30° 30°,30°,30°270°にて… 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA=1:1:9 でも…面積は最大になってないと思うんだけど…?…^^;…
√3-1<S ≦1
3-√3<S<=3+2√3 と…逍遥しましたです…^^;;...
|
- >
- Yahoo!サービス
- >
- Yahoo!ブログ
- >
- 練習用
コメント（1）
