アットランダム≒ブリコラージュ

12235：旧跡...二等辺三角形内の正方形...

問題12235・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/zukei/ より 引用 Orz〜

図のように、

二等辺三角形ＡＢＣの中に正方形がぴったり入っています。

二等辺三角形の底辺ＢＣの長さが２６ｃｍ、

正方形の1辺の長さが６ｃｍの とき、

二等辺三角形ABCの面積を求めなさい。

（２０１６年　四天王寺中学）

解答

・わたしの…

12234：旧跡…長方形と△...

問題12234・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように長方形ＡＢＣＤと三角形ＢＣＥがあり、

ＤＥとＢＣの交点を点Ｆとします｡

また、辺ＡＢ上にＡＧ：ＧＢ＝３：１となるような点Ｇをとり、

点Ｇと点Ｆを結びます。

ＦＣ＝６ｃｍ、ＢＥ＝３ｃｍのとき、

三角形ＡＧＦの面積は何ｃ㎡になりすか。

ただし、３点Ａ、Ｂ、Ｅは一直線上にあります。

（西大和学園中学　２０１４年）

解答

・わたしの…

ちと考えた…^^;

12233：旧跡...△のみじん切り...

問題12233・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37456039.html#37456039 より Orz〜

　△ABCの 辺BC上に点D，CA上に点E，AB上に点F をとり、

　BEとCFの交点をP，CFとADの交点をQ，ADとBEの交点をR とします。

　AF：FB＝1：4 ，AE：EC＝5：4 ，△QCA＝11 ，△RAB＝15 のとき、

　△PQR，△ABC の面積は？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37470315.html より Orz〜

　中図のように、APの延長とBCの交点をS，AF：FB＝m：n，AE：EC＝p：q とします。

　メネラウスの定理より

　(AP/PS)(SC/CB)(BF/FA)＝1 だから、(AP/PS)(SC/CB)＝AF/FB＝m/n 、

　(AP/PS)(SB/BC)(CE/EA)＝1 だから、(AP/PS)(SB/BC)＝AE/EC＝p/q 、

　よって、(AP/PS)(SC＋SB)/BC＝m/n＋p/q 、AP/PS＝m/n＋p/q になります。

　AS/PS＝(AP＋PS)/PS＝m/n＋p/q＋1 、△ABC/△PBC＝m/n＋p/q＋1 、

　右図で、(三角形全体)/(黄緑色の部分)＝m/n＋p/q＋1 です。

　本問の場合、BD：DC＝x：1 とすれば、△ABC/△PBC＝1/4＋5/4＋1＝5/2 ，

　△ABC/△QCA＝x/1＋4/1＋1＝x＋5 ，△ABC/△RAB＝4/5＋1/x＋1＝1/x＋9/5 になり、

　△ABC/11＝x＋5 ，△ABC/15＝1/x＋9/5 、△ABC＝11(x＋5)＝15(1/x＋9/5) 、

　11x＋55＝15/x＋27 、11x＋28−15/x＝0 、11x²＋28x−15＝0 、(11x−5)(x＋3)＝0 、

　x＝5/11 となって、△ABC＝11(x＋5)＝11(5/11＋5)＝60 です。

　また、△ABC/△PBC＝5/2 、60/△PBC＝5/2 、1/△PBC＝1/24 、△PBC＝24 、

　△PQR＝△ABC−△PBC−△QCA−△RAB＝60−24−11−15＝10 です。

　まとめると、△PQR＝10，△ABC＝60 です。

*これはグリコのマークでしたわ ^^;;

＞AP/PS＝m/n＋p/q

は美しい関係ですね☆

12232：「バラの花びら」問題...

問題12232・・・http://horibe.jp/GrB1F.HTM より 引用 Orz〜

円(n-1)に外接するするように正n角形を描き、
その正n角形に外接する円(n)を描く。
次に、円(n)に外接する正(n+1)角形を描き、
その正(n+1)角形に外接する円(n+1)を描く。
・・・
この操作を、順次続けていくとき、
描かれる円(n)の半径は、しだいにどうなるか？

解答

・わたしの…

真ん中の円を半径:r(1)=1とすると…

r(2)=1/cos(2π/6)

r(3)=r(2)/cos(2π/8)

…

r(n)=r(n-1)/cos(2π/(2(n+1))

so…

r(n)=1/{cos(π/3)*cos(π/4)*…*cos(π/(n+1))}

までしかわからず…^^;

上記サイト参照願います Orz〜

収束するようですが...その値をどこかで見た覚えがあるも…はて?

     

12231：正2017角形の対角線…^^;

問題12231・・・https://togetter.com/li/1068520 より 引用(勝手に改変 ^^) Orz〜

単位円に内接する正2017角形の対角線のうち(ア)本の長さが異なるものがあり、それらの平方の和は(イ)である。

解答

・わたしの…

ある1点から半分の点(隣の点は除く)までの距離だけ異なるものなので…

ア=(2017+1)/2-2=1007

イはペアにしたら…一番長い対角線^2になるので…

(1007-1)/2+1=505個の(一番長い対角線)^2

になることまではわかるも…?