アットランダム≒ブリコラージュ

12258：各桁の和を繰り返すと1になる4桁の数の中で2017は何番目？

受験生諸君はインフル流行ってる中/雪の中ほんまに大変だけど…

Good luck on your exam !!

*ちなみに…

他人に対して頑張れって声かけするときには，

" Do your best !! "って使われないのねぇ…^^;v

http://kiwi-english.net/5932 参照☆

問題12258・・・浮浪さんのサイト 「浮浪の館」 http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^;

12257：整数の組…a+b=c+d+e=29...

問題12257(2017JMO)

a+b=c+d+e=29となる相異なる正の整数の組（a,b,c,d,e）はいくつあるか。

解答

・わたしの…

a+b=29

28通り

c+d+e・・・m<m+1<m+2・・・26個と2個…28C2=14*27=378

左辺と右辺に同じ数字があるとすると…

c=1…29-3=26…25-1=23

c=2…29-6=23…22

c=3…29-9=20…19-1=18

c=4…29-12=17…16

c=5…29-15=14…13-1=12

c=6…29-18=11..11

c=7…29-21=8…7-1=6

c=8…29-24=5…4

c=9…29-27=2…1-1=0

so…

28*(378-3*(23+22+18+16+12+11+6+4))=1176通り

かなぁ…^^;

↑

意味不明のことをやらかしてましたぁ ^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

次のようになると思います．

(c,d,e)の組は，
○が29個の間隔28箇所から2箇所を選んで|を入れる入れ方が28C2=378(通り)，
このうちc=dとなるものが，c=dの値として1から14までがあり得て14通り，
同様にc=eとなるものが14通り，d=eとなるものが14通りあって，
それを除くと，378-14*3=336(通り)．

これに対して，(a,b)の組は，(1,28),(2,27),…,(28,1)の28通りのうち，
aがc,d,eのいずれかと等しい3通りと，bがc,d,eのいずれかと等しい3通り
が禁止され，28-6=22(通り)．

以上より，求める数は，336*22=7392(通り)．

*奇麗に整理された発想ですね☆

12256：求長…△の2辺を軸とした回転体の面積比から残りの辺の長さを求める...

問題12256(算チャレ掲示板にてあみーさん提示問 Orz)

ＡＢ＝５cm，ＢＣ＝10cmの三角形ＡＢＣがあり，辺ＡＢを軸として回転させた場合にできる立体の表面積と，辺ＢＣを軸として回転させた場合にできる立体の表面積の比は14：５になるそうです。このとき，ＡＣの長さは何cmでしょうか。

解答

・わたしの…

(10+AC)*h1 : (5+AC)*h2=14:5

h1: h2=1/5 : 1/10=2 :1

(10+AC)*2 : (5+AC)*1=14:5

10(10+AC)=14(5+AC)

4AC=30

so...

AC=30/4=7.5 cm

面白い問題ね ^^

12255：旧跡…ある条件の□...

問題12255・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

図は、CD＝７cm、面積が１８ｃ㎡の四角形ABCDです。

また、２本の対角線BDとACは四角形ＡＢＣＤの内部で交わっていて、

BD＝１０ｃｍ 、AC＝BC、角BCA＝９０度です。

このとき、三角形ＡＣＤの面積を求めなさい。

（２０１１年算数オリンピック、ファイナル問題より）

解答

・わたしの…

ピタゴラス使ってもいいなら…

*鮮やかな解法は…

http://www.vimagic.co.jp/sansu4/olympic/140324/3-24.html へ Go〜☆

12254：旧跡...直方体の切断...六角形の面積...

問題12254・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37465793.html#37465793 より Orz〜

　AB＝8 ，AD＝9 ，AE＝6 の 直方体ABCD-EFGHを 切り口が六角形なるように 平面で切断しました。

　その頂点は 辺DA，AB，BF，FG，GH，HD 上にあり、順に L，M，N，P，Q，R とします。

　AL＝3 ，AM＝4 ，BN＝2 で 六角形LMNPQRの面積を S とするとき、S＝？

　なお、図は正確ではありません。

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37479457.html#37479457 より Orz〜

[解答1]

　条件より DL＝6，LA＝3，AM＝4，MB＝4，BN＝2，NF＝4 です。

　PQ//LM より PG：GQ＝LA：AM＝3：4 なので、

　PG＝3k，GQ＝4k とおくと FP＝9−3k，QH＝8−4k です。

　QR//MN より QH：HR＝MB：BN なので、

　(8−4k)：HR＝4：2 、4HR＝2(8−4k) 、HR＝4−2k 、RD＝6−(4−2k)＝2＋2k です。

　RL//NP より RD：DL＝NF：FP なので、

　(2＋2k)：6＝4：(9−3k) 、(2＋2k)(9−3k)＝24 、−6k²＋12k−6＝0 、k＝1 になり、

　FP＝6，PG＝3，GQ＝4，QH＝4，HR＝2，RD＝4 です。

　よって、MはABの，QはGHの中点になり、MQ//BG ，MQ＝BG＝√(9²＋6²)＝3√13 、

　また、FN：FB＝4：6＝2：3 ，FP：FG＝6：9＝2：3 より NP//BG ，NP＝2BG/3＝2√13 であり、

　NP//MQ 、更に、NM＝√(2²＋4²)＝2√5 ，PQ＝√(3²＋4²)＝5 になります。

　図のように、台形NPQMの面積は ３辺が 2√5，5，√13 の三角形の面積の 5 倍になり、

　３辺が a，b，c である三角形の面積は

　(1/4)√(2b²c²＋2c²a²＋2a²b²−a⁴−b⁴−c⁴) だから、

　台形NPQM＝(5/4)√(2･25･13＋2･13･20＋2･20･25−20²−25²−13²)＝5√61 、

　台形RLMQ≡台形NPQM だから、S＝2･5√61＝10√61 です。


[解答2]

　空間座標で、E(0，0，0)，F(8，0，0)，H(0，9，0)，A(0，0，6) とすれば、

　L(0，3，6)，M(4，0，6)，N(8，0，4) になり、平面LMNは 3x＋4y＋6z＝48 、

　P(8，6，0)，Q(4，9，0)，R(0，9，2) です。

　また、平面LMNと座標軸との交点は X(16，0，0)，Y(0，12，0)，Z(0，0，8) ですので、

　△EYZ＝48，△EZX＝64，△EXY＝96 になり、

　△XYZ＝√(48²＋64²＋96²)＝16√(3²＋4²＋6²)＝16√61 、 

　YR：RL：LZ＝1：2：1 ，ZM：MN：NX＝1：1：2 ，XP：PQ：QY＝2：1：1 だから、

　S＝｛1−(2/4)(2/4)−(1/4)(1/4)−(1/4)(1/4)｝･16√61＝(10/16)･16√61＝10√61 です。


[解答3]

　空間座標で、E(0，0，0)，F(8，0，0)，H(0，9，0)，A(0，0，6) とすれば、

　L(0，3，6)，M(4，0，6)，N(8，0，4) になり、平面LMNは 3x＋4y＋6z＝48 、

　P(8，6，0)，Q(4，9，0)，R(0，9，2) です。

　平面LMNをヘッセの標準形に直すと、(3/√61)x＋(4/√61)y＋(6/√61)z＝48/√61 ですので、

　( 平面を ax＋by＋cz＝d が a²＋b²＋c²＝1，d＞0 のとき ヘッセの標準形という )

　yz平面，zx平面，xy平面 への正射影の面積は (3/√61)S，(4/√61)S，(6/√61)S です。

　正射影の面積は (6/√61)S＝8･9−3･4＝60 、S＝10√61 です。


☆ yz平面，zx平面，xy平面 への正射影の面積 30，40，60 を求めておけば、

　　S²＝30²＋40²＋60²＝6100 です。

　　座標の設定は異なりますが、sbr*d4*5さんがこの方法で解かれました。

*わたしゃ…[解答2]のフォルムから…ヘロンでもよかったんだけど…^^;

空間の△の面積を調べて...外積を使いましたです…Orz
MN,PQ,RLを延長して３交点を考えると…
α(0,0,8), β(16,0,0), γ(0,12,0)とわかり、
△αβγ=1, 
△αML=(2/8)^2=1/16, 
△βNP=(8/16)^2=1/4,
△γQR=(3/12)^2=1/16
So…六角形=(1-(1/4+1/8))*△αβγ=(5/8)△αβγ
△αβγ=(1/2)*αβ x αγ =(1/2)*|(16,0,-8) x (0,12,-8)|
=(1/2)*|(8*12,16*8,16*12)|
=(1/2)*4√(6^2+8^2+12^2)=4√61
So…
六角形=4√61*(5/8)=5√61/2 

*直角三角錐では...四平方の定理ってのがあったのを思い出しました ^^☆

たしか記事にもしてたはずでしたのですが...理解し切れてなかったのですよ…^^;

ヘッセの標準形ってのをまた調べてアップしたいと思いまっす ^^v