アットランダム≒ブリコラージュ

12321：4個の異なる自然数の和が任意の2個の和で割り切れることが一番多くなるようなものは?

問題12321(友人問)

相異なる 4つの正の整数の組 A={a1,a2,a3,a4} に対し、sA=a1+a2+a3+a4

とおく。1<=i<j<=4 なる組 (i,j) であって、ai+aj が sAを割り切るようなものの個数を nA とおく。このとき nA が最大となるような A を全て求めよ。

解答

・わたしの…

よくわからず…考えたこと…^^;

mod 9 で、

2個の和がどれもmod 9 で0 なら可能性が一番大きい…

いずれの2個の和が9…いずれも9の倍数のとき…になると思う ^^;…

9, 18, 27, 

x=9m

1+m=5a

3+m=3b

2+m=4c

m,m+1,m+2,m+3

3, 5, 4, 3

54,55,56,57

m=60n+54

x=540n+486

たとえば…n=0 のとき...

9+18+27+486=540

9+18, 9+27,18+27で割れる…

これは嘘やなぁ…?

9,18,36 だっていいし…Orz…

・鍵コメT様からの誘導いただいたにも関わらず…Orz

まずn[A]の最大値を考えるのがよいかと思います．
a[1]<a[2]<a[3]<a[4]とすると考えやすいかもしれません．

*4C2=6だけど…

a(2)+a(4), a(3)+a(4)では割り切れないので…
so…n[A]<=6-2=4 
まではわかりました ^^;
a(1)+a(2),a(1)+a(3),a(1)+a(4),a(2)+a(3) で割りきれるものがあればいいわけですね…

but...一つ見つけられただけで... ^^;;
1,5,7,11=24…1+5=6,1+7=8,1+11=12,5+7=12 の4個で割り切れる ^^
so…
m,5m,7m,11m は満たす。
これ以外ないことはわかりませんでしたわ…^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

a:b:c:d=1:5:7:11は，全体に占める割合が
a+dが1/2，a+cが1/3，a+bが1/4である場合で，最もシンプルな例ですね．

a+d=b+cの割合は1/2に定まる．
a+c,a+bの割合を1/m,1/n (m,nは自然数で2<m<n)とし，a+b+c+d=Sとして，
(a+b)+(a+c)+(a+d)=2a+(a+b+c+d)=2a+S，
(a+b)+(a+c)+(a+d)=(1/2+1/m+1/n)S
より，
2a=(-1/2+1/m+1/n)S.
-1/2+1/m+1/n>0となるから，(m,n)=(3,4),(3,5)に限り，
(m,n)=(3,4)のとき，a=(1/24)Sとなって，a:b:c:d=1:5:7:11を得る．
(m,n)=(3,5)のとき，a=(1/60)Sとなって，a:b:c:d=1:11:19:29を得る．
以上より，
(a,b,c,d)=(k,5k,7k,11k),(k,11k,19k,29k) (kは自然数)．

*意味は難しくないのに...立式の難しい...面白い問題でした^^;...

12320：サイコロの目...頭の体操…^^;v

問題12320・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

図１のように目の並んださいころが８個あります。

ただし、さいころの向かい合う面の目の和は７です。 

この８個のさいころを、はり合わせる面の目の和が７になるように

面どうしをはり合わせて図２のような 立体を作りました。

（１）　図２において、表面のすべての目の和を求めなさい。

（２） アの面の目の数を数字で答えなさい。

（３） 図２を真上から見たときの目の状態を正確にかきなさい。

（２０１７年　神戸女学院中学）

解答

・わたしの…

(1)

張り合わせた面の和が7=表面の対面の和=7

so…

2*4*7=56

(2)

*頭の体操になりますね ^^;♪

12319：113を3つの自然数で表す場合の数…(順序は無視)...

問題12319・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37488787.html より Orz〜

　加える順序を無視して３つの自然数の和で 5 を表す方法は 1＋1＋3，1＋2＋2 の 2通りです。

　では、加える順序を無視して３つの自然数の和で 113 を表す方法は何通り？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37501272.html より Orz〜

[解答1]

　a，b，c を自然数として 113＝a＋b＋c とします。

　113個のものを並べるときの 112個の間のうち２個を選ぶ方法と対応し、

　a，b，c の決め方は ₁₁₂Ｃ₂＝112･111/2＝56･111 通りです。

　113 は 3 の倍数でないので、a＝b＝c になることはありません。

　b＝c になるのは b＝c＝1，2，3，……，56 の 56通りで、

　c＝a，a＝b の場合も同数ですので、２つが等しい場合は 3･56通りです。

　a＜b＜c の場合の数を N 通りとすれば、

　6N＋3･56＝56･111 、6N＋6･56＝56･114 、N＋56＝56･19＝1064 が a≦b≦c の場合の数です。
　

　一般化して、n，a，b，c を自然数で n＝a＋b＋c とします。

　ｎ個のものを並べるときの (n−1)個の間のうち２個を選ぶ方法と対応し、

　a，b，c の決め方は _n-1Ｃ₂＝(n−1)(n−2)/2 通りです。

　a＝b＝c になるのがｐ通りとすれば、ｎが３の倍数のとき p＝1 ，ｎが３の倍数以外のとき p＝0 です。

　b＝c になるのは a＝b＝1，2，3，……，[(n−1)/2] の [(n−1)/2]通りで、

　ｎが偶数のとき q＝1 ，ｎが奇数のとき q＝0 とすれば、 [(n−1)/2]＝(n−1−q)/2 通り、

　c＝a，a＝b の場合も同数ですので、

　２つだけが等しい場合は 3(n−1−q)/2−3p 通りです。

　a＜b＜c の場合の数を N 通りとすれば、

　6N＋3(n−1−q)/2−3p＋p＝(n−1)(n−2)/2 、

　6N＝(n−1)(n−2)/2−3(n−1−q)/2＋2p＝(n²−3n＋2−3n＋3＋3q＋4p)/2 、

　N＝(n²−6n＋5＋3q＋4p)/12 、

　a≦b≦c の場合の数は、

　N＋(n−1−q)/2−p＋p＝(n²−6n＋5＋3q＋4p)/12＋(n−1−q)/2

　 ＝(n²−6n＋5＋3q＋4p＋6n−6−6q)/12＝(n²−1＋4p−3q)/12 、

　ここで、−1＋4p−3q＝−1，3，−4，0 ですので、

　round(n²/12)＝[(n²＋3)/12] と表されます。


[解答2]

　加える順序を無視して３つの自然数の和で n を表す方法を a_n 通りとします。

　113 を表す方法のうち、最小数が 2 以上のものは、1 ずつ小さくすれば和は 110 で、

　最小数が 1 のものは、1＋1＋111，1＋2＋110，1＋3＋109，……，1＋56＋56 の 56通り、

　よって、a₁₁₃＝a₁₁₀＋56 、

　110 を表す方法のうち、最小数が 2 以上のものは、1 ずつ小さくすれば和は 107 で、

　最小数が 1 のものは、1＋1＋108，1＋2＋107，1＋3＋106，……，1＋54＋55 の 54通り、

　よって、a₁₁₀＝a₁₀₇＋54 になります。

　一般に、ｎが奇数のとき a_n＝a_n-3＋(n−1)/2 、ｎが偶数のとき a_n＝a_n-3＋(n−2)/2 で、

　n，n−3 の一方が奇数で他方が偶数だから、A，B の一方は 1 ，他方は 2 とすれば、

　a_n＝a_n-3＋(n−A)/2＝a_n-6＋(n−3−B)/2＋(n−A)/2＝a_n-6＋n−3 、

　a_n−a_n-6＝n−3 です。

　n＝113，107，101，……，11 を代入して加えると、

　a₁₁₃−a₅＝110＋104＋98＋……＋8＝(110＋8)･18/2＝1062 、

　a₁₁₃＝a₅＋1062＝2＋1062＝1064 です。


　一般化して、n を 6 で割ったときの 商を q ，余りを r とすれば、

　a_n＝a_r＋(n−3＋r＋3)q/2＝a_r＋(n＋r)q/2 で、

　a₀＝0 ，a₁＝0 ，a₂＝0 ，a₃＝1 ，a₄＝1 ，a₅＝2 です。

　n＝6q＋r なので、q＝(n−r)/6 、a_n＝a_r＋(n＋r)q/2 に代入して、

　a_n＝a_r＋(n＋r)(n−r)/12＝(n²−r²＋12a_r)/12＝n²/12＋a_r−r²/12 、

　a_r−r²/12＝0，−1/12，−1/3，1/4，−1/3，−1/12 だから、

　a_n＝round(n²/12)＝[(n²＋3)/12] です。



[参考]

　ガウス記号や四捨五入なしで表せば、

　 n≡0 (mod 6) の場合、n²/12 通り，

　 n≡±1 (mod 6) の場合、(n²−1)/12 通り，

　 n≡±2 (mod 6) の場合、(n²−4)/12 通り，

　 n≡3 (mod 6) の場合、(n²＋3)/12 通りです。

*[解答2]の発想は新しいんじゃ？…

わたしゃ…ふつうに…[解答1]で…^^

112C2=56*111
両端から,1,2,3,…,56を取る=56
(56*111-3*56)/6+56=1064 

12318：平行な平面の距離...

問題12318・・・http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14102741229

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

平行だから(平行しか平面間の距離なんて意味がないですけどね ^^;)

...原点に対してこれらが同じ側にあるかないかを調べる…

A: 9>0

B:-39<0

so…反対側…

so...

(91+39)/√169

=130/13

=10

ね ^^

↑

赤字で訂正 ^^; Orz…

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

・鍵コメT様からのもの Orz〜

原点はあまり本質的な意味をもちません．
3x-4y+12z=-39上に，例えば(-13,0,0)をとって，
3x-4y+12z=91との距離を調べればできますね．
|-39-0+0-91|/√169=10.

*納得♪

12317：旧跡…空間の△,四面体…ベクトル...

問題12317・・・http://tokyokeio.blog.fc2.com/blog-entry-12.html より 引用 Orz〜

A(3,0,4) B(-3,0,-4) C(0,10,0) D(-8,5,6)とする。

（1）三角形ABCの面積を求めよ。
（2）四面体ABCDの体積を求めよ。

解答

・わたしの…

(1)

S^2=(1/2)^2*(|(a)||(b)|sinθ)^2

(sinθ)^2=1-(cosθ)^2

(a)*(b)=|(a)||(b)|cosθ

((a)*(b))^2=(|(a)||(b)|)^2(cosθ)^2

so…

S^2=(1/2)^2*(|(a)||(b)|)^2*(1-(cosθ)^2)

      =(1/2)^2*((|(a)||(b)|)^2-((a)*(b))^2)

so…

S=(1/2)√((|(a)||(b)|)^2-((a)*(b))^2)

(a)=(-6,0,-8)

(b)=(-3,10,-4)

so…

△ABC

=S

=(1/2)√((6^2+8^2)(3^2+10^2+4^2)-(18+32)^2)

=(1/2) √10000

=50

(2)

平面ABC=(3,0,4)+s(-6,0,-8)+t(-3,10,-4)

=(3-6s-3t,10t,4-8s-4t)

x=3-6s-3t

y=10t

z=4-8s-4t           

x=3-6s-3y/10・・・4x=12-24s-12y/10

z=4-8s-4y/10・・・3z=12-24s-12y/10

so…4x-3z=0

D:(-8,5,6)から、平面4x-3z=0までの距離 hは…

h=|4*(-8)-3*6|/√(4^2+3^2)

=50/5

=10

so…

V=S*h/3=50*10/3=500/3

*上記サイトより(内積(・)外積(x)を使って ^^) Orz〜

*美しい♪

・鍵コメT様から頂戴した算数的☆解法 Orz〜

別解としてですが，この数値なら容易に計算できます．
(1) ABの中点は原点O(0,0,0)．さらに，OA⊥OC.
△ABC=2△OAC=2(OA・OC/2)=5・10=50.
(2) 四面体OACDの体積の2倍を求めればよい，
また，DをOCに平行に動かしても体積は不変．
D'(-8,0,6)とする．
OD'はOA,OCの両方と垂直だから，
[四面体OACD']=(△OAC・OD')/3であり，
[四面体ABCD]=2・25・10/3=500/3. 

*数覚に鋭い方ならではですね☆

ベクトルという武器を知るとそちらに走ってしまいます ^^;…

面白い発想ね♪