アットランダム≒ブリコラージュ

12336：旧跡…とある台形...

問題12336・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

幾何的アプローチの醍醐味ねぇ^^;☆

12335：求値…x^6+y^6+z^6...

問題12335・・・やどかりさんのブログより http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37497698.html#37497698 Orz〜

　a＋b＋c＝3 ，a³＋b³＋c³＝33 ，a⁵＋b⁵＋c⁵＝333 のとき、a⁶＋b⁶＋c⁶＝？

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37511103.html#37511103 より Orz〜

[解答1]

　bc＋ca＋ab＝p とします。

　a²＋b²＋c²＝(a＋b＋c)²−2(bc＋ca＋ab)＝9−2p 、

　a³＋b³＋c³＝(a＋b＋c)｛(a＋b＋c)²−3(bc＋ca＋ab)｝＋3abc より、

　33＝3(9−3p)＋3abc 、11＝9−3p＋abc 、abc＝3p＋2 になり、

　b²c²＋c²a²＋a²b²＝(bc＋ca＋ab)²−2abc(a＋b＋c)＝p²−6(3p＋2)＝p²−18p−12 です。

　(a³＋b³＋c³)(a²＋b²＋c²)＝a⁵＋b⁵＋c⁵＋b²c²(b＋c)＋c²a²(c＋a)＋a²b²(a＋b) より、

　33(9−2p)＝333＋b²c²(3−a)＋c²a²(3−b)＋a²b²(3−c) 、

　297−66p＝333＋3(b²c²＋c²a²＋a²b²)−abc(bc＋ca＋ab) 、

　−36−66p＝3(p²−18p−12)−p(3p＋2) 、p＝0 ですので、

　bc＋ca＋ab＝0 ，abc＝2 ，a²＋b²＋c²＝9 ，b²c²＋c²a²＋a²b²＝−12 です。

　a⁶＋b⁶＋c⁶＝(a²＋b²＋c²)｛(a²＋b²＋c²)²−3(b²c²＋c²a²＋a²b²)｝＋3a²b²c²

　 ＝9｛9²−3･(−12)｝＋3･2²＝1065 です。


[解答2]

　bc＋ca＋ab＝p ，abc＝q ，ｎを自然数として f(n)＝aⁿ＋bⁿ＋cⁿ とすれば、

　f(1)＝a＋b＋c＝3 ，f(3)＝33 ，f(5)＝333 で、f(6) を求めることになります。

　f(2)＝a²＋b²＋c²＝(a＋b＋c)²−2(bc＋ca＋ab)＝9−2p であり、

　a＋b＋c＝3 ，bc＋ca＋ab＝p ，abc＝q より、a，b，c は x³−3x²＋px−q＝0 の解、

　すなわち、x³＝3x²−px＋q の解だから、

　a³＝3a²−pa＋q ，b³＝3b²−pb＋q ，c³＝3c²−pc＋q になり、

　辺々加えて、f(3)＝3f(2)−p･f(1)＋3q 、

　更に、ｋを自然数として a^k+3＝3a^k+2−pa^k+1＋q^k ，b^k+3＝3b^k+2−pb^k+1＋q^k ，

　c^k+3＝3c^k+2−pc^k+1＋q^k になり、f(k＋3)＝3f(k＋2)−p･f(k＋1)＋q･f(k) です。

　f(3)＝3f(2)−p･f(1)＋3q＝3(9−2p)−3p＋3q＝27−9p＋3q＝33 だから、q＝3p＋2 になり、

　f(4)＝3f(3)−p･f(2)＋q･f(1)＝3･33−p(9−2p)＋3(3p＋2)＝2p²＋105 、

　f(5)＝3f(4)−p･f(3)＋q･f(2)＝3(2p²＋105)−33p＋(3p＋2)(9−2p)＝−10p＋333＝333 だから、

　p＝0 ，q＝2 です。

　f(1)＝3 ，f(2)＝9 ，f(3)＝33 ，f(4)＝105 ，f(5)＝333 ，f(k＋3)＝3f(k＋2)＋2f(k) になり、

　f(6)＝3f(5)＋2f(3)＝3･333＋2･33＝1065 です。


[参考] たけちゃんさんのコメントより

　ab＋bc＋ca＝0であったおかげで，計算がかなり楽になりました．

　ab＋bc＋ca＝0のときの，a＋b＋c ，a³＋b³＋c³ ，a⁵＋b⁵＋c⁵ の条件を調べてみます．

　a＋b＋c＝A ，a³＋b³＋c³＝B ，a⁵＋b⁵＋c⁵＝C とおく．

　B＝A³，C＝A⁵のときは，a，b，c のうちの２つが 0 となって，ab＋bc＋ca＝0が成り立つ．

　以下ではabc≠0を前提とする． 

　ab＋bc＋ca＝0より，a²＋b²＋c²＝A².

　a³＋b³＋c³＝A(A²−3･0)＋3abcから，abc＝−(A³−B)/3であり，a²b²c²＝(A³−B)²/9 ． 

　a²b²＋b²c²＋c²a²＝0²−2(a＋b＋c)abc＝(2/3)A(A³−B) ． 

　さらに，1/a＋1/b＋1/c＝(ab＋bc＋ca)/(abc)＝0 ． 

　a²，b²，c² は t³−A²t²＋(2/3)A(A³−B)t−(A³−B)²/9＝0 の３解より，

　a⁵−A²a³＋(2/3)A(A³−B)a−(A³−B)²/(9a)＝0 などが成り立ち，

　C−A²B＋(2/3)A²(A³−B)＝0.

　C＝(1/3)A²(−2A³＋5B) ． [この結果は，B＝A³，C＝A⁵ を含んでいる．]

*定番の[解答2]で考えるも...かなりいい加減だったこと判明…^^; Orz〜

t^3-3t^2+(ab+bc+ca)t-abc=0

33
=3(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca)+3abc

=3(9-2(ab+bc+ca))-3(ab+bc+ca)+3abc

(a+b+c)^3
=27

=a^3+b^3+c^3+3ab(3-c)+3bc(3-a)+3ca(3-b)+6abc

=33-3abc+9(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=x, abc=y

11=(9-2x)-x+y=9-3x+y

9=11-y+3x
y=3x+2
これは不定方程式なので…
yが0になれないので…x=0,y=2 で考えてもいいはず…
so…

t^3-3t^2-2=0
a^k+b^k+c^k=(xk) とする…

(x6)=a^6+b^6+c^6=3*333+2*33=999+66=1065

12334：不貞方程式…3x^3=5y^5...

問題12334・・・http://wasmath.la.coocan.jp/seisuu052.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

1,3,5以外の因子はない...

右辺のyに(3^a)^5・・・3が5a個

左辺xも(3^b)^3なので…5a=3b+1・・・b=a+(2a-1)/3・・・a=3k+2, b=5k+3

5に関しては…

左辺のxに (5^c)^3

右辺のyに (5^d)^5・・・3c=5d+1・・・c=d+(2d+1)/3・・・d=3k+1, c=5k+2

so…kは0以上の整数

x=3^(3k+2)*5^(5k+2)

y=3^(5k+3)*5^(3k+1)

ね ^^

*上記サイトの解答と違う…^^;…?

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「サイトの解答」は誤りで，x=(3^3)(5^2)n^5,y=(3^2)・5n^3が正しい結論です．

ある自然数解があるとき，pを自然数として，
xにp^5,yにp^3をかけたものも解になります．
よって，「1,3,5以外の因子がない」とは言えませんが，
まずは3,5以外の素因数をもたないx,yを考えるのは有力な方法です．
スモークマンさんの方法でいけますが，
x=(3^b)*(5^c),y=(3^a)*(5^d)とおいたことになっていて，
a=3k+2，b=5k+3，c=5m+2，d=3m+1 (kとmのように文字を分ける必要があります)
となり，
x=3^(5k+3)*5^(5m+2)=(3^3)*(5^2)*(3^k*5^m)^5,
y=3^(3k+2)*5^(3m+1)=(3^2)*5*(3^k*5^m)^3
が，3,5以外の素因数を持たない解．
さらに，xにp^5，yにp^3をかけたものも解なので，
x=(3^3)(5^2)*n^5,y=(3^2)・5n^3 (n=3^k*5^m*p)が最終結果であり，
サイトの解答を直したものと一致します．

*そっか!! 納得☆