アットランダム≒ブリコラージュ

12221：確率...Nカ所にk個を入れるとき、1ヶ所に2個以上ない...

問題12221・・・http://blog.goo.ne.jp/0424725533/e/44c07ad85df6bf137f4f9a8a6d9f1ccd より 引用 Orz〜

Ｎ個の区画に無作為にｋ個の種をまくとき、２個以上まかれる区画がない確率を求めよ。ただし、Ｎ＞ｋとする。

(平成１７年度東大大学院工学系研究科システム量子工学の入試問題)

解答

・わたしの…

易問では…^^;…?

分母=nHk=(n+k-1)Ck

分子=nCk

so…

(n!/((n-k)!*k!))*((n-1)!*k!)/(n+k-1)!)

=n!(n-1)!/((n-k)!(n+k-1)!)

ですね ^^

n=10, k=5　のとき…

10!*9!/(5!14!)=18/143=0.125874…

・鍵コメT様からのコメント＆ 解答 Orz〜

うーん，かなり疑わしいと思います．

例えば，N=3,k=2のとき，3区画を区別して，
各区画の種の数を(a,b,c)のように表すとき，
可能なパターンは，
(2,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,1,1),(0,0,2)
となります．
この6通り中「2個以上まかれる区画がない」のは確かに3通りなので，
6通りが同様に確からしいならば，確率は1/2です．
(書かれている式は，その意味合いの式になります．)

では，同様に確からしいと言えるかというと，「無作為に」の解釈次第ですが，
通常は，種も区別し，例えば(1,1,0)は(2,0,0)の2倍確からしいとしそうです．
(このあたりの「無作為」，「同様に確からしい」については，
問題11685で少しコメントしました．) 

http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/MYBLOG/yblog.html?fid=0&m=lc&sk=0&sv=11685

参照願います Orz〜

上記の解釈によれば，種を1つずつ順に考えて，
・1つ目の種はどの区画に入ってもよい (確率1)
・2つ目の種は，1つ目と違う区画 ((N-1)/N)
・3つ目の種は，1〜2つ目と違う区画 ((N-2)/N)
…
・k個目の種は，それまでのどれとも違う区画 ((N-k+1)/N)
となって，求める確率は，N!/((N-k)!N^k)となります．
こちらの解釈では，N=3,k=2に対しては確率は2/3，
N=10,k=5に対しては確率は189/625=0.3024となります．

*なるほどねぇ☆

T様の発想の方が確からしく思えますわ ^^♪

12220：嗅覚…円周角…基本…^^

問題12220・・・http://blog.goo.ne.jp/0424725533/e/c9100f7e8513ade4044d164b9031f8b7 より 引用 Orz〜

図のように、円Ｏの周上に３点Ａ、Ｂ、Ｃがある。
点Ａと点Ｂ、点Ａと点Ｃ、点Ｏと点Ｂ、点Ｏと点Ｃをそれぞれ結ぶ。
∠ABO=４２°、∠ACO=２６°　のとき、ｘで示した∠BOCの大きさは何度か。

(26年度都立共通問題）

解答

・わたしの…

さすがにこれは基本ね ^^

12219：旧跡…平行線と直角二等辺三角形...

問題12219・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

12218：正八面体のサイコロの種類...

問題12218・・・http://www.mirai-net.jp/math/ より 引用 Orz〜

解答

よくわからず…^^;

調べた ^^;;

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/nuriwake_s/nuriwake_s.htm より 引用 Orz〜

「「切り離して配列する」ことも展開するとみなし，図のように放射線状に配列する．同心円が３つできるが，内側の円から塗っていこう．

ここで２番目の円は円順列だが，固定して色を塗ることで一番外側の円は，ただの順列となることに注意する．したがって，

　　　₇C₁×₆C₃×2×3!=1680　通り

正多面体はどの頂点に対しても頂点を軸とする対称な図形となり，軸を回転の中心として独楽のように廻すことが可能となる．このことを利用して，正多面体の塗り分けを考えてみよう．

正八面体の１頂点を地面において独楽のように立て，頂点から放射線状に切り開くと図のように配置される．したがってその塗り分け方は，8C4×3!×4!通りとなるが，正8面体の6つの頂点いずれにおいても同様の塗り分け方が考えられることより，その総数は，
　　　8C4×3!×4!×1/6=1680　通り

となる．」

*なるほどねぇ ^^♪

・鍵コメT様からのスマートなる解法☆

回転して同じになるものも別々に数えれば，8!通りです．
これを平面上に置く置き方は，底面が8通り，120°ずつの回転も可能なので，
24通りの置き方ができます．
つまり，「8!通り」は同じさいころを24回ずつ数えていて，
求める数は8!/24=7!/3=1680(通り)です．

*お気に入りぃ〜♪

12217：座標の遷移…クイズ ^^

問題12217・・・http://www.mirai-net.jp/math/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(余り0)→右→(余り1)→上→(余り2)→左→(余り3)→下→(余り0)と移動…

(0,10)=2　mod 4

10回目に(0,10) なので、8回目に余り0の位置=Poは余り0の位置…

一つ前…下(0,9)

その前…左(-1,9)

so…

Po=(-1,9)

ね ^^

↑

間違ってました…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのコメ Orz〜

余り2から左に行くと，余りは1になります．
余り3から下に行くと，余りは2になります．

↓

*再考…^^;

0-1-2-1-2-1-2-1-2-…と循環するのでしたか…
so…余り0,余り2のときがあるので…

(0,10)→(0+5,10-5)=(5,5)

(0,10)→(0+4-1,10-4-1)=(3,5)

ですね ^^