アットランダム≒ブリコラージュ

14622：求積…あるフォルムの台形...

問題14622・・・浮浪様のサイト http://www.geocities.jp/hagure874/「浮浪の館」より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

14621：Nの約数の個数12個,小さい方から7番目の約数が12であるNは？

たしかタマスダレでしたよね🌸

問題14621・・・https://mobile.twitter.com/so_easy_math/status/922340290559557634?p=v より 引用 Orz〜

[東工大 2017] 

次の条件( ⅰ ), ( ⅱ )をともに満たす正の整数Nをすべて求めよ。

( ⅰ )Nの正の約数は12個 

( ⅱ )Nの正の約数を小さい順から並べたとき,7番目の数は12

解答

・わたしの…

12=2^2*3

1,2,3,4,5,6,12…6*12…x

1,2,3,4,6,8,12…8*12

1,2,3,4,6,9,12…9*12

8*12=2^5*3・・・約数の個数=6*2=12

9*12=2^2*3^3・・・約数の個数=3*4=12

so…

N=96, 108

ね ^^

↑

まだ考慮すべきものがありましたわ ^^; 

問題13570を参照願います Orz〜…

https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=13570&sk=0

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

14620：最小値…アラカルト ^^;

味噌が利いてるこいつも美味し☆

問題14620・・・前問のサイトより 引用 Orz〜

(1) x>0のとき,(x+1/x)(x+4/x)の最小値を求めよ。[1997千葉工大] 

(2) x>0のとき,x^2+1/x^3の最小値を求めよ。

(3) 実数a,bがa+b=17を満たすとき,2^a+4^bの最小値を求めよ。[JMO予選2005]

解答

・わたしの…

(1)

(x+1/x)/(x+4/x)=1-3/(x^2+4)<1-3/4=1/4

までしか分からず…^^;

(2)

(x^2+1/x^3)'=2x-3/x^4=0

2x^6=3

この前後で傾きは負から正になるので…

x=(3/2)^(1/6) のときがMin

(3/2)^(1/3)+(2/3)^(1/2)

(3)

2^a+2^2b

=2^a+2^(2(17-a))

=2^a+2^34/2^(2a)

=2^a+2^32/2^a

>=2^17

2^a=2^(34-2a)

a=34-2a

a=34/3 のときね…^^

↑

なんと...お粗末なことで ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) 割り算ではなく掛け算です．
(x+1/x)(x+4/x)=x^2+4/(x^2)+5.
相加平均と相乗平均の大小関係から，x^2+4/(x^2)≧4で，
等号はx^2=2，x=√2のとき成立．
よって，最小値は4+5=9.

(2) こちらも相加相乗でいけます．
x^2+1/x^3=(1/3)x^2+(1/3)x^2+(1/3)x^2+1/(2x^3)+1/(2x^3)
≧5*(1/108)^(1/5).
等号は，(1/3)x^2=1/(2x^3)，つまりx=(3/2)^(1/5)のとき成立．
よって，最小値は5*(1/108)^(1/5).

(3) (2^34)/(2^(2a))は(2^32)/(2^a)とは全くの別物です．

2^a+2^(2b)=2^a+2^(34-2a)
=2^(a-1)+2^(a-1)+2^(34-2a)
≧3*(2^32)^(1/3)=3*2^(32/3).
等号は，a-1=34-2a，つまりa=35/3のとき成立．
よって，最小値は3*2^(32/3). 

*なんとパズルチック ^^;☆

14619：約数の積…P(n)=24^240 となる n は？

問題14619・・・https://mobile.twitter.com/so_easy_math/status/922310093491679232?p=v より 引用 Orz〜

 正の整数nの正の約数の総積をP(n)とする。 

 P(n)=24^240となるようなnは1つだけある。nを求めよ。[JMO予選 2012] ☆3 

解答

・わたしの…

P(n)=n^(約数の個数/2)・・・約数の個数が偶数個のとき…

P(n)=n^((約数の個数-1)/2)*√n・・・nが平方数のとき

24=2^3*3・・・約数の個数=8個

24^2・・・7*3=21個

24^3・・・10*4=40個

24^5・・・16*6=96個…240/5=48個の倍

so…

n=24^5 ね ^^

14618：式の値が素数...互いに素な自然数m,n…m^2-mn+1200-1200m/n が素数...

問題14618・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38090696.html#38090696 より Orz〜

　m，n が互いに素な自然数であるとき、m²−mn＋1200−1200m/n で表される素数の値は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38104619.html より Orz〜

　m，n が互いに素だから、1200/n＝k とすれば k も自然数であり、

　m²−mn＋1200−1200m/n＝m²−mn＋nk−mk＝m(m−n)−k(−n＋m)＝(m−n)(m−k) で、

　この式は n，k について対称になり、k≧n としても一般性を失いません。

　よって、n²≦1200 、n≦34 としてもよいことになります。

　求める素数を p とすれば、(m−n，m−k)＝(p，1)，(−1，−p) ですので、

　(m−n，m−k)＝(p，1) のとき、m＝k＋1 ，m−n＝p 、k＋1−n＝p で、 

　(m−n，m−k)＝(−1，−p) のとき、m＝n−1 ，m−k＝−p 、n−1−k＝−p 、k＋1−n＝p だから、

　いずれの場合も p＝1200/n−n＋1 です。ここで、n≦34 なので、1200/n＞35 ，p＞2 になります。

　また、n が奇数であれば、1200/n は偶数で、p＝1200/n−n＋1 も偶数で、素数になりません。

　よって、n＝30，24，20，16，12，10，8，6，4，2 の場合を調べればよいことになります。

　それぞれの値において p＝11，27，41，60，89，111，143，195，297，599 、

　このうち、素数であるものは p＝11，41，89，599 です。

*わたしゃ...二度としたくないよな計算をしましたわぁ…^^;…

m*(m-n)[phone]*m/n=p
mが偶数では無理
so…mは奇数のとき、nが奇数では無理
so…mは奇数、nは偶数

n*m^2-m*n^2+1200*n-1200*m
=n(m^2+1200)-m(n^2+1200)
=n*p
n^2+1200はnで割り切れる…
1200=2^4*3*5^2
n=2,2^2,2^3
n=2 のとき…
m^2+1200-m(2+600)
=m^2-602m+1200
=(m-301)^2+1200-301^2
=(m-301)^2-(13*23)^2
so…m-301-13*23=1 or m-301+13*23=1
m=601 or 3(無理)
n=2,m=601 のとき…与式=599

n=2^2 のとき…
m^2+1200-m(2^2+300)
=m^2-304m+1200
=(m-152)^2+1200-152^2
=(m-152)^2-(2^2*37)^2
so…m-152-2^2*37=1 or m-152+2^2*37=1
m=301 or 5(無理)
n=4,m=301 のとき…与式=297=3^3*11…駄目

n=2^3 のとき…
m^2+1200-m(2^3+150)
=m^2-158m+1200
=(m-79)^2+1200-79^2
=(m-79)^2-5041
=(m-79)^2-71^2
so…m-79-71=1 or m-79+71=1
m=151 or 9

n=8,m=151 のとき…与式=143=11*13…駄目
n=8, m=9 のとき…与式=-141…駄目

n=2*3, 2*5, 2*3*5,2^2*3, 2^2*5,2^2*3*5, 2^3*3, 2^3*5,2^3*3*5
のときも考えなきゃいけないので大変…
m^2+1200-m(2*3+200)…m^2-206m+1200=(m-103)^2-97^2
m-103-97=1 or m-103+97=1…m=201 or 7
n=2*3,m=201…与式=195…駄目
n=2*3,m=7…与式=-193…駄目

m^2+1200-m(2*5+120)…m^2-130m+1200=(m-65)^2-55^2
m-65-55=1 or m-65+55=1…m=121 or 11
n=2*5,m=121…与式=111…駄目
n-2*5,m=11…与式=-109…駄目

m^2+1200-m(2*3*5+40)…m^2-70m+1200=(m-35)^2-5^2
m-35-5=1 or m-35+5=1…m=41 or 31
n=2*3*5,m=41…与式=11
n=2*3*5,m=31…与式=-9…駄目

m^2+1200-m(2^2*3+100)…m^2-112m+1200=(m-56)^2-44^2
m-56-44=1 or m-56+44=1…m=101 or 13
n=2^2*3,m=101…与式=89
n=2^2*3.m=13…与式=-87…駄目

m^2+1200-m(2^2*5+60)…m^2-80m+1200=(m-40)^2-20^2
m-40-20=1 or m-40+20=1…m=61 or 21
n=2^2*5,m=61…与式=41
n=2^2*5,m=21…与式=-39…駄目
m^2+1200-m(2^2*3*5+20)…m^2-80m+1200
n=2^2*3*5,m=61…与式=41
n=2^2*3*5,m=21…与式=-39

m^2+1200-m(2^3*3+50)…m^2-74m+1200=(m-37)^2-13^2
m-37-13=1 or m-37+13=1…m=51 or 25
n=2^3*3,m=51…与式=27…駄目
n=2^3*3,m=25…与式=-25…駄目

m^2+1200-m(2^3*5+30)…m^2-70m+1200
n=2^3*5,m=41…与式=11
n=2^3*5,m=31…与式=-9…駄目

m^2+1200-m(2^3*3*5+6) …m^2-126m+1200=(m-63)^2-(√2769)^2…なし

けっきょく…
11,41,89,599