アットランダム≒ブリコラージュ

14757：嗅覚...正方形と30.60,90°の△...

問題14757・・・http://sansu-seijin.jp/?p=7801 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

*算数じゃない...^^;

14756：旧跡...凹五角形...45°...定番パズルね ^^

問題14756・・・http://sansu-seijin.jp/?p=7793 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

定番ね ^^

14755：旧跡...□ABCD...sinAsinD=sinBsinC ...

問題14755・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38126296.html#38126296 より Orz〜

　AB＝15 ，BC＝28 ，CD＝21 ，DA＝10 である四角形ABCDがあって、４つの内角 A，B，C，D が、

　sinAsinD＝sinBsinC を満たしているとき、四角形ABCDの面積 S の値は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38136946.html より Orz〜

　2sinAsinD＝2sinBsinC より cos(A−D)−cos(A＋D)＝cos(B−C)−cos(B＋C) 、

　ここで、cos(A＋D)＝cos(2π−B−C)＝cos(B＋C) なので、cos(A−D)＝cos(B−C) 、

　cos(A−D)−cos(B−C)＝0 、−2sin｛(A−D＋B−C)/2｝sin｛(A−D−B＋C)/2｝＝0 、

　sin｛(A＋B＋2π−D−C)/2｝sin｛(A＋C＋2π−D−B)/2｝＝0 、

　sin｛(A＋B＋A＋B)/2｝sin｛(A＋C＋A＋C)/2｝＝0 、sin(A＋B)sin(A＋C)＝0 、

　ここで、0＜A＋B＜2π ，0＜A＋C＜2π なので、A＋B＝π または A＋C＝π です。

　A＋B＝π のとき AD//BC の台形になり、平行四辺形ABEDを作れば、

　△DECの３辺は 15，18，21 で、(15＋18＋21)/2＝27 、ヘロンの公式により、

　△DEC＝√｛27(27−15)(27−18)(27−21)｝＝√(27･12･9･6)＝54√6 、 

　S＝｛(28＋10)/18｝△DEC＝(19/9)･54√6＝114√6 になり、　

　A＋B＝π のとき 四角形ABCDが円に内接し、(15＋28＋21＋10)/2＝37 、ブラーマグプタの公式により、

　S＝√｛(37−15)(37−28)(37−21)(37−10)｝＝√(22･9･16･27)＝36√66 になります。

　まとめると、S＝114√6，36√66 です。 

*見事な式展開あるね ^^;☆

わたしゃ...稚拙に...

sinA,sinB,sinC,sinD>0
so...sinA/sinC=sinB/sinD=k, sinC/sinA=sinD/sinB=1/k...k>0
△の和=□
k>0,(10*15k+21*28)(10*21+15*28k)

=(21*28/k+10*15)(10*21/k+15*28)
をPCで解くと...^^;
(k-1)(k+1)(2k+1)(25k+98)/k=0
so...k=1
つまり...□ABCDは円に内接する...
ブラーマグプタの公式から...
s=(15+28+21+10)/2=37
so...
□ABCD=√{(37-15)(37-28)(37-21)(37-10)}=√85536
=36√66

凹□の場合は...片方が負になるので適さない...

sinA/sinB=sinC/sinD もありましたのね ^^;
cosB=x,cosC=y
10^2+15^2+2*10*15*x=21^2+28^2-2*21*28*y,

15^2+28^2-2*15*28*x=10^2+21^2+2*10*21*y
から...
x=1/5,y=5/7
so...
{10*15*√(1-(1/5)^2)+28*21*√(1-(5/7)^2)}/2=114√6 

わたしゃ...4辺が決まったら...てっきり一意に決定できるものと思い込んで(陥穽の罠に嵌り込んで)おりましたわ...^^;;