アットランダム≒ブリコラージュ

14776：2^2+3^2+...+n^2=p^k を満たすもの全て求めよ...

問題14776・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=9 より 引用 Orz〜

1より大きな整数nであって,ある素数pと正の整数kが存在して2^2+3^2+...+n^2=p^kが成り立つようなものを全て求めよ.

(2004 ポーランド数学オリンピック)

解答

・わたしの...

n(n+1)(2n+1)/6-1=p^k

n(n+1)(2n+1)-6

=(n-1)(2n^2+5n+6)

=6*p^k

so...

n-1=1,2,3,6,p

n=2...

2^2=2^2...(n,p,k)=(2,2,2)

n=3...

2^2+3^2=13...(n,p,k)=(3,13,1)

n=4...

2^2+3^2+4^2=29...(n,p,k)=(4,29,1)

n=7...

2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=29+25+36+49=139...(n,p,k)=(7,139,1)

n=p+1

p*(2p^2+5p+6)=p^k

2p^2+5p+6=p^(k-1)

so...p=2 or 3

p=3 のとき...n=4 で、すでに出てるので...これだけね ^^

*明日は飲み会にて...OrZzzz...

14775：7^1x7^2x...x7^2009x7^2010 の一の位の数字は？...クイズ ^^

問題14775・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=9 より 引用 Orz〜

7^1×7^2×...×7^2009×7^2010の1の位の数字を求めよ.

(2010 マレーシア数学オリンピック)

解答

・わたしの...

1+2+...+2010=2011*1005

与式=7^(2011*1005)

7^2=9 mod 10

7^4=1

so...

2011*1005≡(-3)*1≡1 mod 4

与式≡7 ね ^^

14774：99...99 x 44...44 の各桁の和は？...クイズ ^^

問題14774・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=9 より 引用 Orz〜

α=99...99(9が2010個),β=44...44(4が2010個),γ=α×βとおく.γの各桁の和を求めよ.

(2010 マレーシア数学オリンピック)

解答

・わたしの...

γ=(10^2010-1)*44...44

=44...4400...00-44...44

=44...4355...56

so...

2*2010桁...

so...

9*2010=18090 ね ^^

14773：各桁の和の300倍がnに等しくなる全ての正の整数nを求めよ...

問題14773・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=9 より 引用 Orz〜

正の整数nであって,nの各桁の和の300倍がnに等しいようなものを全て求めよ.

(2012 イタリア数学オリンピック)

解答

・わたしの...

各桁の和をmod 9で表すと...

3倍した数も...同じとなる...

3*1≡3

3*2≡6

3*3≡0

3*4≡3

3*5≡6

3*7≡3

3*8≡6

3*0≡0

so...

3*9=27

2700=9*300

2700だけね ^^

14772：n^2の下3桁がnに等しいもの全て求めよ...

問題14772・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=9 より 引用 Orz〜

正の整数nであって,n^2の下3桁がnに等しいようなものを全て求めよ.

(2003 イタリア数学オリンピック)

解答

・わたしの...

(100a+10b+c)^2≡200ac+100b^2+20bc+c^2

c=0,1,5,6,

c=0...

100b^2=100a+10b

b=0,a=0

c=1...

200a+100b^2+20b+1=100a+10b+1

b=0,a=0

c=5...

100b^2+100b+25=100a+10b+5

b=2,a=6

c=6...

200a+100b^2+120b+36=100a+10b+6

b=7,2a+9+8=a...なし

so...

n=1000*m+625 だけね ^^

↑

抜けてました...^^; Orz...

↓

・鍵コメY様からのもの Orz〜

376 もあります。
https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/7121331.html

*上記サイトでは...『Automorphic numbers： n² ends with n』を自動的に求める方法が解明されていますのね♪

*c=6...

200a+100b^2+120b+36=100a+10b+6

b=7,2a+9+8=a...a=3

so...376

1000*m+376も満たしてましたのね ^^;☆

376^2=141376