アットランダム≒ブリコラージュ

14781：旧跡...直角三角形の各辺に正方形を作り,その外側にも正方形を作る...

問題14781・・・浮浪様のサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

以前、やどかりさんのサイトで出題されてますね ^^

14780：旧跡...4つの台形と2つの直角三角形でできる八角形...

問題14780・・・http://sansu-seijin.jp/?p=8586 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

等しい//の長さをxとすると...

2x^2=(4-x)^2+4^2

x^2+8x-32=(x+4)^2-48=0

x=4√3-4

so...

(4√3)*4*2+(4√3-4)^2

=48+16

=64 cm^2

*算数じゃない...^^;

14779：旧跡...2個の円と直角三角形...パズル ^^

問題14779・・・http://sansu-seijin.jp/?p=8581 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

8^2/2*(1/2)-4^2*π/4

=16-4π

=3.44 cm^2

^^

14778：n^2が[√n]^3で割り切れる平方数でないnを全て求めよ...

問題14778・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=11 より 引用 Orz〜

実数xに対して, xを超えない最大の整数を[x]と表す. 平方数でない正の整数nであって, n^2が[√n]^3で割り切れるようなものを全て求めよ.

(1989 インド数学オリンピック)

解答

・わたしの...

[√ n]=1...n=2,3

n=m^2+1〜m^2+2m では...√ n=m

(m^2+m)^2...m^2*(m+1) がm^3では割り切れない

(m^2+2m)^2...m^2*(m+2)は...m+2がmの倍数の時だけ...

m=2

so...

n=2^2+2^2=8

実際に...

[√8]=2

8^2/2^3=8^2

けっきょく...

n=2,3,8 だけね ^^

14777：求長...△ABCの底辺BC上の点Pと外心Oとの距離...

問題14777・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38133077.html#38133077 より Orz〜

　AB＝44，AC＝77，∠BAC＝120ﾟ の △ABCがあって、

　∠BACの二等分線とBCの交点をP，△ABCの外心をOとするとき、OP＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38144817.html より Orz〜

[解答1]

　∠BAC＝120ﾟ だから、余弦定理より、

　BC²＝AB²＋AC²−2AB･ACcos120ﾟ＝44²＋77²−2･44･77(−1/2)＝11²(16＋49＋28) 、

　BC＝11√93 、円の半径をRとすれば、R＝BC/√3＝11√31 です。

　また、APは ∠BACの二等分線なので、BP：PC＝BA：AC＝44：77＝4：7 となって、

　BP＝(4/11)AC＝4√93 です。

　∠BOC＝120ﾟ ，OB＝OC だから、∠OBP＝30ﾟ 、余弦定理より、

　OP²＝BP²＋BO²−2BP･BOcos30ﾟ＝(4√93)²＋(11√31)²−2(4√93)(11√31)(√3)/2

　 ＝16･93＋121･31−44･93＝31(48＋121−132)＝31･37＝1147 、OP＝√1147 です。


[解答2]

　CAの延長に Bからおろした垂線をBHとすれば、AH＝22，BH＝22√3 だから、

　BC²＝99²＋(22√3)²＝11²(81＋12) 、

　BC＝11√93 、円の半径をRとすれば、R＝BC/√3＝11√31 です。

　また、APは ∠BACの二等分線なので、BP：PC＝BA：AC＝44：77＝4：7 となって、

　BP＝(4/11)AC＝4√93 、PC＝(7/11)AC＝7√93 です。

　ここで、Pを通る直径の両端をQ，Rとすれば、方べきの定理より PB･PC＝PQ･PR が成り立ち、

　(4√93)(7√93)＝(11√31＋OP)(11√31−OP) 、4･7･93＝11²･31−OP² 、

　OP²＝11²･31−4･7･93＝31(11²−4･7･3)＝31･37＝1147 、OP＝√1147 です。

*なるほどぉ〜^^

わたしゃ...ちょい遠回りでしたわ ^^;

BC^2=11^2(4^2+7^2+4*7)=11^2*93
11*(7/11)*√93=7√93
中点：(11/2)√93
S=△ABC=4*7*11^2*√3/4=7*11^2*√3
4RS=11^2*4*7*11√93
R=11^3*7*√93/(7*11^2*√3)=11√31
OM^2=(11√31)^2-((11/2)√93)^2=3751/4
OP^2=OM^2+(7√93-(11/2)√93)^2
=3751/4+837/4
=1147
so…OP=√1147