アットランダム≒ブリコラージュ

14667：千早数(7と2とだけの数)...72桁で2^72の倍数のものは存在するか？

画像：http://nipponsharemono.net/mikoshozoku-1242 より 引用 Orz〜

「巫女さんといったら「白い小袖に赤い袴」ですが、実はその歴史は新しく、なんと明治時代なのだそうです。

明治維新後、政府によって神社祭祀制度が見直され全国の神社の儀礼・形式が大幅に整えられました。 いわゆる国家神道の時代です。・・・千早（ちはや） 神事や巫女舞・神楽を舞う際に着用する衣装。古代の貫頭衣（かんとうい）の名残とも。 紋様は青摺（あおずり）といい、「鶴」「亀」「松」「菊」などが緑色で描かれることが多い。」

問題14667・・・https://mobile.twitter.com/so_easy_math/status/925873573150973952?p=v より 引用 Orz〜

 [ElfenLied_MS2 様] からのもの Orz〜

各桁の数が 7または2 である正の整数を千早数と呼ぶ。

72桁であり、2^72の倍数である千早数は存在するか。

解答

・わたしの...

下一桁が2になる...

2^1=2

2^2=4

2^3=8

2^4=6

2^5=2

72=4*18

so...

2^72≡6　mod 10

so...

存在しない...^^

↑

2^nの倍数の有無が問われている問題でしたわ...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのエレガントな解法 Orz〜

この問題，魅力的ですね．

1桁の数2は2^1で割り切れる．
2桁の数22,72は2^1で割り切れ，2^2で割った余りは異なるから，
その一方は2^2で割り切れる．(実際には72.)
3桁の数272,772は2^2で割り切れ，2^3で割った余りは異なるから，
その一方は2^3で割り切れる．(実際には272)
4桁の数2272,7272は2^3で割り切れ，2^4で割った余りは異なるから，
その一方は2^4で割り切れる．

以下同様に，自然数nに対し，
「n桁であり，2^nの倍数である千早数」は存在します．

*流石に上手い解法あるね☆

14666：任意のaで、P(P(P(P(P(a)))))=a^28*P(P(a)) となる実数係数多項式Pは？

問題14666・・・https://mobile.twitter.com/so_easy_math/status/925798073120342021?p=v より 引用 Orz〜

[Austrian-Polish2005改] 

Pは実数係数の多項式である。

任意の実数aに対して P(P(P(P(P(a))))) = a^28*P(P(a)) が成り立つようなPをすべて決定し、それらで必要十分であることを示せ。

解答

・わたしの...

a^(m^2)*a^28=2^(m^5)

28+m^2=m^5

m^2(m^3-1)=28=2^2*7

m=2 で満たす...

so...

P=a^2

このとき、任意のaで満たしている...でいいのかいなぁ ^^

14665：余り...アラカルト...

問題14665・・・https://mobile.twitter.com/so_easy_math/status/925782972124446721?p=v より 引用 Orz〜

(1) 19で割って14余る平方数は存在するか？☆4

 

(2) (2a^2-1)/(b^2+2)が整数になる整数の組(a,b)は存在するか？☆9

 

(3) (3^n-1)/(2^n-1)が整数になるn∈Nを全て求めよ。☆9

 

(4) p!+pが平方数になる素数pを全て求めよ。

解答

・わたしの...

(1)

mod 19 では、平方数の余りは...

1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=-3, 5^2=-6, 6^2=-2, 7^2=-8, 8^2=7, 9^2=5

so...ないですね ^^

(2) 

a,b は奇数...

与式=(2(2m-1)^2-1)/((2n-1)^2+2)=(4m(2m-2)+1)/(4n(n-1)+3)

分母、分子は互いに素...分母は1になれない...

so...存在しない ^^

(3)

(3^n-1)/(2^n-1)

分母は偶数、分子は奇数で互いに素...

分母=1のとき...n=1 のとき...与式=(3-1)/(2-1)=2

so...n=1 のときだけね ^^

(4)

p!+p=p*((p-1)!+1)

(p-1)! ≡-1　mod p

so...

(p-1)!+1=p*m^2

m=1 のとき...

(p-2)!=1...p=2,3

p>=5...左辺は奇数...so...mは奇数(4n+1), pも4k+1型

(4k+1)*(4n+1)^2=(4k)!+1

右辺は4k+1で割れても1回...so...n=0で、最初のときのみ...

けっきょく...

p=2,3 だけね ^^

14664：証明...e+π,eπ のいずれかは無理数...

問題14664・・・https://mobile.twitter.com/so_easy_math/status/925903776191463426?p=v より 引用 Orz〜

 超越数とは有理数係数方程式の解とならない数である。√2はx^2-2=0の解で超越数ではないが,円周率πやネイピア数eは超越数である。

ところで,e+πやeπが無理数かは判明していないのであるが,この2つのうち少なくとも一方は無理数であることが分かっている。なぜか。

解答

・わたしの...

(x-π)(x-e)=x^2-(π+e)x+eπ=0

e+πもeπも有理数だと...

e=(a+b√c)

π=(a-b√c)

と表せる...

but...これらは、超越数なので...代数的解ではないので、この形式では表せない...

so...矛盾...

so...どちらかは、無理数...

みたいなことでいいのか知らん...^^;...?

14663：嗅覚...台形と中点...パズル ^^

問題14663・・・http://sansu-seijin.jp/?p=3111 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...