アットランダム≒ブリコラージュ

14808：曲線と直線との接点...

問題14808(wkf*h0*6様からの提示問 Orz〜)

(1)

曲線 x^2+y^2=K が　直線　6*x+9*y=54 に接するよう　kを定めて下さい;
そのときの　接点も求めて下さい;

(2)

曲線　4*(Log[2, x])^3 + (Log[2, y] - 1)^3 = k が　双曲線　x*y=8 に接するよう　kを定めて下さい;そのときの　接点をも求めて下さい;

解答

・わたしの...

(1)

直線6x+9y=54

までの原点からの距離が半径であればいいので...

k=(54/√(6^2+9^2))^2=54^2/117=324/13

x^2+((18-2x)/3)^2-(324/13)=0

から...x=36/13,y=(18-2*36/13)/3=54/13

so...

接点=(36/13,54/13)

6*36/13+9*54/13=54

(36/13)^2+(54/13)^2=324/13

or

円の接線...(6t)x+(9t)y=k

(6t)^2+(9t)^2=k,

36t+81t=54

から...k=324/13, t=6/13

so...

接点=(36/13,54/13)

でいいですね ^^

(2)...わかりません...Orz...

14807：f(n)={n!の末尾に連続する0の個数},n≦5^40において n-4*f(n)=3 を満たす自然数nの個数は？...^^;;

問題14807・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38139493.html#38139493 より Orz〜

　ｎを自然数とし、n! を十進法で表すときの 末尾に連続する０の個数を f(n) とします。

　例えば、3!＝6 ，7!＝5040 ，11!＝39916800 だから f(3)＝0 ，f(7)＝1 ，f(11)＝2 です。

　n＝3，7，11 のとき、n−4･f(n)＝3 が成り立ちますが、

　n＝3，7，11 を含めて n−4･f(n)＝3 が成り立つ 5⁴⁰ 以下の自然数ｎは何個？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38150263.html より Orz〜

　ｎを五進法で表した数字の和を g(n) とします。

　ｋを負でない整数として、ｎを五進法で表すときの 末尾に連続する４が ｋ個のとき、

　１を加えると末尾のｋ桁がすべて０になり、その上の桁の数字が１増えるので、g(n＋1)＝g(n)−4k＋1 、

　また、n＋1 は 5^k の倍数で、5^k+1 の倍数でないので、f(n＋1)＝f(n)＋k になります。

　よって、4･f(n＋1)＋g(n＋1)＝4｛f(n)＋k｝＋g(n)−4k＋1＝4･f(n)＋g(n)＋1 になり、

　4･f(1)＋g(1)＝4･0＋1＝1 ですので、

　｛4･f(n)＋g(n)｝を数列と考えれば、初項が 1 で 公差が 1 の等差数列であり、

　4･f(n)＋g(n)＝n 、n−4･f(n)＝g(n) です。

　本問の条件では、g(n)＝3 ，n≦5⁴⁰ です。

　g(5⁴⁰)＝1 ですので、n＜5⁴⁰ としてよく、ｎを五進法で表すと 40桁以下です。 

　1，5，5²，5³，……，5³⁹ から重複を許して３個を選んで、その和をｎとすれば、g(n)＝3 ですので、

　求める個数は、 ₄₀Ｈ₃＝40･41･42/3!＝40･41･7＝11480 です。

*あることに気づけたんだけど...^^

とにかく地道にしか解けませんでしたぁ...^^;

5,[5/5]=1...4*1=4
5^2=25,[25/5]=5,[5/5]=1...4*6=24
5^3=125,[125/5]=25,[25/5]=5,[5/5]=1...4*31=124

*なぜ、こうなるのか説明できませんでしたのですが...^^;

so...
a(n)*5^n+a(n-1)*5^(n-1)+...+a(0)=a(n)+a(n-1)+...+a(0)=3
a(0)=3
a(1)+a(0)=3...(1,2),(2,1),(3,0)
a(2)+a(1)+a(0)=3...(1,1,1),(1,2,0),(1,02),(3,0,0)
a(3)+a(2)+a(1)+a(0)=3...(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,2,0,0),(1,02,0),(1,0,0,2),(3,0,0,0)
so...5^3〜5^39...4〜40から、上のように取り出す...
4・・・1+3C2+3C1
5・・・1+4C2+4C1
...
40・・・1+39C2+39C1

先頭1の時…1が2個 or 2が1個 =nC2 or nC1
先頭2の時…1が1個=nC1
先頭3の時…1通り

so…

5^3〜5^39までは…
項数4〜40
Σ[3〜39](1+nC2+2*nC1)
=Σ(n(n-1)/2+2n+1)
=Σ(n(n+3)/2+1)
=37+[n(n+1)(2n+1)/12+3n(n+1)/4](2〜39)
=37+(39*40*79-2*3*5)/12+(3/4)(39*40-2*3)
=37+11433
=11470
これに、
5^2の時の(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0)(1,0,2),(1,1,1)=6個
5の時の(3,0),(2,1),(1,2)=3個
5^0の時の(3)=1個
5^40の時はありえない…0個
を加えると…
11470+10=11480 

*解答のように...40H3 でいいのでした ^^;...☆

14806：連続する正の整数の和が500になるもの全て求めよ...

問題14806・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku011q.htm より 引用 Orz〜

正の整数の組 (a,b)で、a以上b以下の整数の総和が 500となるものをすべて求めよ。ただし、a＜bとする。

(大阪大学１９９９年前期文系)

*昔の大学入試問題だったのねぇ...今昔(こんじゃく)の感に堪えません...^^;

解答

デジャヴー ^^...but...忘れた...^^;

・わたしの...

500=2^2*5^3

偶数個...,(k-1),k/(k+1),(k+2),...・・・2nk+n=n(2k+1)・・・n=偶数=4

奇数個...k*(2n+1)・・・k=100,20,4

so...

n=4,k=62・・・59〜66

k=100,n=2・・・98〜102

k=20,n=12・・・8〜32

k=4,n=62・・・負になるのでダメ

けっきょく...

(a,b)=(59,66),(98,102),(8,32)