2017年11月22日の記事一覧 - 詳細表示

14818：互いに素な2以上の整数p,q, m,nはm<nなる正の整数,分母がp^2*q^2で、分子がpでもqでも割り切れない分数のうち、mより大きくnより小さいものの個数は？

問題14818・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku021q.htm より引用 Orz～

ｐ、ｑを互いに素な２以上の整数、ｍ、ｎはｍ＜ｎなる正の整数とする。このとき、分母がｐ²ｑ²で、分子がｐでもｑでも割り切れない分数のうち、ｍよりも大きくｎよりも小さいものの総数を求めよ。

(千葉大学２０１２年前期文系)

解答

・わたしの...

意味がよくわからないまま...^^;

分子はm(p^2*q^2)+1～n(p^2*q^2)+(p^2*q^2-1)

m<(m(p^2*q^2)+1)/(p^2*q^2)<(n(p^2*q^2)+(p^2*q^2-1))/(p^2*q^2))<n

so...

(n-m)*p^2*q^2+p^2*q^2-1 個

ってことかいなぁ...?...^^;

↑

やっぱりおかしかったある...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

分子はn(p^2*q^2)-1までです．

*たしかに...わたしのでは...n<<n+1の間の数になってましたわ...^^;

ただし，整数部分と小数部分を分ける方が考えやすいです．

整数部分はm～n-1のn-m通り．
小数部分は分母が(p^2)(q^2)，分子は1～(p^2)(q^2)のうちでp,qの倍数以外．
(p^2)(q^2)通りのうち，除くべきは，
pの倍数はp(q^2)通り，qの倍数は(p^2)q通り，重複がpq通りだから，結論は，
(n-m)*((p^2)(q^2)-((p^2)q+p(q^2)-pq))=pq(p-1)(q-1)(n-m)通りです．

*Aha!!な発想ね♪

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14817：場合の数...人数制限のある部屋への割り当て...

問題14817・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku020q.htm より引用 Orz～

定員２名、３名、４名の３つの部屋がある。

(1) ２人の教員と７人の学生の合計９人をこれらの３つの部屋に定員どおりに入れる割り当て方は[あ]通りである。

また、その割り当て方のなかで２人の教員が異なる部屋に入るようにする割り当て方は[い]通りである。

(2) ７人の学生のみを、これらの３つの部屋に定員を超えないように入れる割り当て方は[う]通りである。ただし誰も入らない部屋があってもよい。

(慶應義塾大学２０１６年医学部)

解答

・わたしの...

(1)

教員2人が同じ部屋...定員2名の部屋...7C3=35

...定員3名の部屋に入れる...7C1*6C2=7*15=105

...定員4名の部屋...7C2*5C2=21*10=210

教員2人がバラバラのとき...

定員2人に一人...定員3人に一人...2*7C1*6C2=14*15=210

...定員4人に一人...2*7C1*6C3=14*12=168

定員3人と定員4人に一人ずつ入る...2*7C2*6C3=2*21*12=(40+2)(10+2)=504

[い]=210+168+504=882

[あ]=35+105+210+210+168+504=1232

2,3,4 なので...

3,4を満たす場合を加えればいいはず...

so...

1232+7C3=1232+35=1267・・・[う]

ですね ^^

↑

間違ってるのよねぇ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

[あ]は教員と学生を分類する必要はありません．
9C2*7C3=36*35=1260(通り)です．
このうち，教員2人が同じ部屋となる35+105+210=350(通り)
[これはスモークマンさんので正しいです]
を除いて，[い]は1260-350=910(通り)ですね．
[う]については，[あ]の場合から教員2人を追い出すと考えればよいです．
ただし，[い]の910通りは，同じ入れ方を2回ずつ数えているので，
結論は350+910/2=805(通り)です．

*後半は...同じように考えたんだけど...わたしのは加えるものがおかしかったことに気づきましたわ ^^;...910/2とすぐわかるのところが違いのわからないわたしとの違いあるね...☆

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14816：二桁の正の整数pで割り切れる6桁の正の整数があり、この上3桁の数と下3桁の数の和が常にpで割り切れるときのpは？

問題14816・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku019q.htm より引用 Orz～

２けたの正の整数ｐで割り切れる６けたの正の整数がある。この６けたの正の整数について、その左側にある３つの数字の表す３けたの数と右側にある３つの数字の表す整数との和がつねにｐで割り切れるとき、ｐの値を求めよ。

(神戸大学１９５９年数学Ⅰ代数、数学Ⅱ文理)

解答

・わたしの...

1000a+b=p*m

a+b=p*n

999a=p(m-n)

999=9*3*37

so...

p=37 ね ^^

こうしててみると...昔の大学入試問題が今の中学入試レベルのような気がしたり...^^;

↑

こんなこと書いてて間違ってたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

999=(3^3)*37であり，結論はp=27,37です．

*3*9=27が見えぬとは...^^;;

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14815：1～13から偶数のカードが2枚以上含まれる3枚の選び方は？

問題14815・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku017q.htm より引用 Orz～

１から１３までの整数が１つずつ書かれた１３枚のカードの中から３枚を選ぶとき、偶数が書かれたカードが２枚以上含まれる選び方は[あ]通りであり、１１以上の数が書かれたカードが少なくとも１枚含まれる選び方は[い]通りである。

(慶應義塾大学２０１４年医学部)

解答

・わたしの...

偶数6枚、奇数7枚...

6*5*11=330通り・・・[あ]

11,12,13

3*12=36通り・・・[い]

ですよね ^^

↑

これまたおかしかったあるね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

偶数2枚:6C2*7C1=15*7=105(通り)，偶数3枚:6C3=20(通り)だから，
[あ]は125です．
11以上がない場合を全体から除いて，
[い]は13C3-11C3=286-120=166です．

[あ]で「6*5*11」は変です．6C2*11ならまだわかりますが，
これでも，例えば「{2,4}と6」と「{2,6}と4」と「{4,6}と2」を
重複して数えているので誤りです．
[い]は，選ぶ枚数が誤りであり，また，
例えば「11と{1,12}」と「12と{1,11}」の重複を考える必要があります．

*どうも...いかんなぁ...^^;;...

(名古屋大学１９８７年前期文系)

解答

・わたしの...

(1)

1回に+2 or +1

3回投げて、6~3

so...4=1+1+2=1+2+1=2+1+1の3通り

(2)

10通りなら, 20～10

20=2+2+...+2・・・1通り

16=2*10-4...so...10C4=210通り

12=2*10-8...so...10C8=10C2=45通り

けっきょく...1+210+45=256 通り　ね ^^

アットランダム≒ブリコラージュ

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