アットランダム≒ブリコラージュ

14835：3以上9999以下の偶数 a, a^2-a≡0 mod 10^4 を満たすaを求めよ...(ペア問 ^^)

問題14835(アナロジー...ペア問 ^^)

３以上９９９９以下の偶数aで、a²−aが１００００で割り切れるものをすべて求めよ。

解答

・わたしの...

(10a+6)^2=100*a^2+120*a+36...76

(100a+76)^2=10^4*a^2+15200*a+5776...376

(1000a+376)^2=10^6*a^2+752000*a+141376...9376

 

じっさいに...

9376^2=87909376 でビンゴ♪

*前問の解説を是非ともご覧くださいませね Orz〜

鍵コメT様からのスマートな解法に魅せられます☆

14834：3以上9999以下の奇数 a, a^2-a≡0 mod 10^4 を満たすaを求めよ...

問題14834・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku002q.htm より 引用 Orz〜

３以上９９９９以下の奇数aで、a²−aが１００００で割り切れるものをすべて求めよ。

(東京大学０５年前期文科第２問・理科第４問)

解答

・わたしの...

a^2≡a mod10000

5^2≡5 mod 10

6^2≡6 mod 10・・・偶数なので考えない...

(10a+5)^2=100*a^2+100*a+25...a=2

(100a+25)^2=10^4*a^2+5000*a+625...a=6

(1000a+625)^2=10^6*a^2+1250000*a+0625

so...a=0625 だけが満たしますのね ^^;v

↑

ミスってました...^^; 

赤字で訂正...Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1000a+625)^2=(10^6)a^2+1250000a+625^2です．
aによらず，(1000a+625)^2の下4桁は0625となり，
条件を満たすのは625だけです．

次のようにやるのが普通だと思います．
a^2-a=a(a-1)であり，aとa-1は互いに素だから，
a,a-1の一方が2^4で割り切れ，一方が5^4で割り切れることが条件．
また，どちらかが両方で割り切れると，その数は10^4の倍数となり，
a=0,1となって，範囲に入らず不適．

aは奇数だから，aが5^4の倍数，a-1が2^4の倍数．…(*)
a=625kとおけて，625k≡1 (mod 16)より，k≡1 (mod 16)となって，
1≦k<16より，k=1．したがって，a=625.

aが偶数なら，(*)が逆になり，こちらも同様に解けます．

法が大きい合同式の方が効率がよい場合が多いです．
aが偶数の場合，aが16の倍数，a-1が625の倍数．
a-1=625kとおけて，625k+1≡0 (mod 16) より，
k+1≡0 (mod 16)となって，k=15，したがって，a=625*15+1=9376です．

また，奇数625と偶数9376が合計10001であるのも偶然ではありません．
a(a-1)=(-a)(-a+1)だから，
x(x-1)≡0 (mod 10000)の解にx=aがあるなら，x=-a+1もあるわけで，
625が解なら，-624も解であり，10000を法とする合同式だから，
9376が解と定まります．

*華麗にしてねかぁさん☆

お気に入りぃ〜♪

自問のわたしの解法が色あせて見ちゃうわ...^^;;

14833：非負整数 m,n, 3m+5nで表せない正の整数を全て求めよ...有名問のはず ^^;

問題14833・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku001q.htm より 引用 Orz〜

どのような負でない２つの整数ｍとｎをもちいても
　　ｘ＝３ｍ＋５ｎ
とは表すことができない正の整数ｘをすべて求めよ。

(大阪大学００年前期理系)

解答

・わたしの...

よく見る問題だけど...^^;

地道に...

3,5,8,9,10,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,

kが1以上なら...

以下のように、すべて表せる...

15k=3*5k or 5*3k

15k+1=15k+3*2-5*1・・・(*)

15k+2=15k+5*1-3*1・・・(*)

15k+3=15k+3*1

15k+4=3*3-5*1・・・(*)

15k+5=15k+5*1

15k+6=15k+3*2

15k+7=15k+3*4-5*1・・・(*)

15k+8=15k+3*1+5*1

15k+9=15k+3*3

15k+10=15k+5*2

15k+11=3*2+5*1

15k+12=15k+3*4

15k+13=15k+3*1+5*2

15k+14=3*3+5*1

so...k=0のとき、3 or 5 の係数がマイナスになるもの(*)が表せない...

つまり...

1,2,4,7

だけね ^^

14832：場合の数...1〜4までの数字を重複して使ってできる整数を2つをmとnとする,m<=nとなる組の個数は？

問題14832・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku041q.htm より 引用 Orz〜

（１）４個の数字１、２、３、４を使ってできる５桁の整数について、以下の個数を求めよ。

ただし、同じ数字を重複して使ってよいものとする。
　（a）２の倍数の個数
　（b）９の倍数の個数
　（c）２２０００以上の整数の個数
（２）前問と同じ方式で５桁の整数を独立に２個作り、それらをｍ、ｎとするとき、ｍ≦ｎとなる（ｍ，ｎ）の組の個数を求めよ。

(鳥取大学２０１５年前期医学部)

解答

・わたしの...

(1)

(a)

4^5/2=1024/2=516 個

(b)

5〜20...

so...9 or 18

9=4+2+1+1+1=3+3+1+1+1=2+2+2+2+1=2+2+3+1+1・・・5!/3!+5!/(3!2!)+5!/(2!2!)=60

18=4+4+4+4+2=4+4+4+3+3・・・5!/4!+5!/(3!2!)=15

so...75 個

(c)

21***,1**** を引く...

4^5-4^3-4^4=704

(2)

4^5 個あるから...

1+2+...+4^5(=1024)

so...

1024*(1024+1)/2=524800

ですよね ^^

↑

またやってしまいました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの ^^

(1)(a) 1024/2=512です．
(b) 9=2+2+2+2+1の分の5!/4!=5(通り)が足されていないようです．
結論は65+15=80(通り)ですね．

*無事、学会も済みましたが...今週もう一つあるのですばい...^^;

普段の倍は遊び歩いたせいで...足腰が痛みます...^^;;

14831：謎の数列...^^;

問題14831・・・☆オリジナルの高校数学の問題を掲載していきます☆ http://mm2445.blog.fc2.com/blog-entry-404.html より 引用 Orz〜

解答

ライブ問です...

思いつけませんでしたぁ...^^;