アットランダム≒ブリコラージュ

14842：漸化式...a(1)=1, a(n+2)=5a(n+1)-6a(n), a(7)<10000, すべての項は1の位が1 or 9である自然数...

問題14842・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38146922.html#38146922 より Orz〜

　すべての項が １の位が 1 または 9 である自然数からなる数列｛a_n｝があって、

　a₁＝1 ，a_n+2＝5a_n+1−6a_n (n＝1，2，3，……) ，a₇＜10000 を満たします。

　この数列の第２項，第３項の組 (a₂，a₃)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38158209.html より Orz〜

　a_n+2＝5a_n+1−6a_n より a_n+2−2a_n+1＝3(a_n+1−2a_n) 、数列｛a_n+1−2a_n｝は 公比が 3 の等比数列、

　a₂−2a₁＝p とすれば、a_n+1−2a_n＝p･3^n-1 ……(1) 、

　a_n+2＝5a_n+1−6a_n より a_n+2−3a_n+1＝2(a_n+1−3a_n) 、数列｛a_n+1−3a_n｝は 公比が 2 の等比数列、

　a₂−3a₁＝q とすれば、a_n+1−3a_n＝q･2^n-1 ……(2) 、

　(1)−(2) より a_n＝p･3^n-1−q･2^n-1 、a₁＝p−q＝1 だから、a_n＝p･3^n-1＋(1−p)･2^n-1 です。

　以下、合同式を mod 10 とします。

　ｋが自然数であれば、2^k(4＋1)≡0 ，3^k(9＋1)≡0 なので、2^k+2≡−2^k ，3^k+2≡−3^k 、

　n≧2 のとき a_n+2≡−a_n になり、a₂，a₃ の１の位が 1 または 9 であれば、

　すべての自然数ｎについて　a_n の１の位が 1 または 9 になります。 

　a₃＝9p＋4(1−p)＞0 なので、p＞−4/5 、0≦p で、

　a₇＝729p＋64(1−p)＜10000 なので、p＜9936/665 、p≦14 です。

　a₂＝p＋2≡1，9 より、p≡9，7 であり、0≦p≦14 ですので、p＝9，p＝7 です。

　(a₂，a₃)＝(p＋2，5p＋4)＝(11，49)，(9，39) です。


　なお、a_n＝3ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺² ，a_n＝7･3^n-1−3･2ⁿ です。

*ただ地道に求めましたわ ^^;

(下一桁(1 or 9)の下1桁)=5-6*1=下1桁=9
(下一桁(1 or 9)の下1桁)=5-6*9=下1桁=1

5*1-6*1=9
5*9-6*1=9
5*9-6*9=1
5*1-6*9=1
5*1-6*1=9

5*9-6*1=39・・・a(3)
5*39-6*9=141・・・a(4)
5*141-6*39=471・・・a(5)
5*471-6*141=1509・・・a(6)
5*1509-6*371=5319・・・a(7)

5*11-6*1=49・・・a(3)
5*49-6*11=179・・・a(4)
5*179-6*49=601・・・a(5)
5*601-6*179=1931・・・a(6)
5*1931-6*601=6049・・・a(7)

5*19-6*1=89・・・a(3)
5*89-6*19=331・・・a(4)
5*331-6*89=1121・・・a(5)
5*1121-6*331=3619・・・a(6)
5*3619-6*1121=11369・・・a(7)・・・ダメ

so...(a(2),a(3))=(9,39), (11,49)
だけのはずね ^^...
芸がない...Orz...

14841：嗅覚...同心円の面積比..

問題14841・・・浮浪様のサイト「浮浪の館」より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^