アットランダム≒ブリコラージュ

14867：Σ[k=1〜2001] k^2≡？ (mod 13)

問題14867・・・http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/19/000000 より 引用 Orz〜

解答

デジャヴー...?

・わたしの...

2002=13*154 に気づけば...

1^2001+(2002-1)^2001≡0 mod 13

2^2001+(2002-2)^2001≡0 mod 13

...

1001^2001=(13*77)^2001≡0

so...

けっきょく...0 ね ^^

14866：40C20≡？ (mod 41)

問題14866・・・http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/19/000000 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

40*39*...*2*1/(20*19*...*1)^2

(41-1)*1*(41-2)*2*...*(41-20)*21/(20*19*...*1)^2

≡(1*2*...*21)^2/(20*19*...*1)^2

≡21^2=441≡31

ね ^^

↑

またやってもうてましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

式の2行目は微妙に変だと思います．正しくは，
(41-1)*1*(41-2)*2*…*(41-20)*20/(20*19*…*1)^2
ですね．

*でしたぁ ^^;

なんでいつも間違っちゃうんだろうか知らん...^^;;

40!=(40C20)*(20!)^2であり，
mod 41で，40!≡(40C20)*(20!)^2…[*]です．
また，40!≡(20!)*(-20)*(-19)*(-18)*…*(-1)≡(20!)^2であり，[*]から
(40C20)*(20!)^2≡(20!)^2.…[**]
(20!)^2は41で割り切れず，41は素数だから(20!)^2は41と互いに素なので，
[**]の両辺を(20!)^2で割ることができて，
40C20≡1 (mod 41)とわかります． 

14865：2015!の末尾で初めて0でない数字は？

問題14865・・・http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/19/000000 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

よく見る問題あるか...^^

(1)

[2015/5]=403

[403/5]=80

[80/5]=16

[16/5]=3

so...

403+80+16+3=502個

(2)

[2015/3]=671

[671/3]=223

[223/3]=74

[74/3]=24

[24/3]=8

[8/3]=2

so...671+223+74+24+8+2=1002...3^1002

3-9-7-1...3^4≡1 mod10

so...3^1002≡9

[2015/2]=1007

[1007/2]=503

[503/2]=251

[251/2]=125

[125/2]=62

[62/2]=31

[31/2]=15

[15/2]=7

[7/2]=3

[3/2]=1

so...1007+503+251+125+62+31+15+7+3+1=2005

so...2^(2005-502)=2^1503

2-4-8-6-2...2^5≡2 mod 10

so...2^1503≡2*2^1502≡2*6*2^2≡8

[2015/7]=287

[287/7]=41

[41/7]=5

so...287+41+5=333...7^333

7-9-3-1...7^4≡1 mod 10

so...7^333≡7

so...9*8*7≡4

ね ^^

14864：3^100≡？ (mod 19)

問題14864・・・http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/19/000000 より 引用 Orz〜

3^100を19で割ったあまりは？

(tsujimotter様の提示問)

解答

・わたしの...

3^18≡1

100/18=5...10

3^100≡(3^18)^5*3^10≡3^10

3^3=27≡8

3^10≡8^3*3≡7*8*3≡2*8≡16

わたしゃこの方法でしかわからず...^^;v

http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/100th-power-of-three-modulo-19

には、平方剰余を使ってもっと楽チンに求める解法が紹介されています♪

平方剰余はすぐ忘れちゃう...^^;