アットランダム≒ブリコラージュ

14702：任意の正の整数mに対して,2^n+1が少なくともm個の相異なる素因数を持つ正の整数nが存在する...

問題14702・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=6 より 引用 Orz〜

任意の正の整数mに対して, 2^n +1が少なくともm個の相異なる素因数をもつような正の整数nが存在することを示せ.

解答

・わたしの…

たとえば…

n=3^(3^(3^(3^(3^(3^(…)))))))

3の個数がm個あれば…

(2^3+1)((2^3)^3+1)((2^3)^3)^3+1)…の因子がm個できますね…^^

じっさいは…3がm-1個あれば可能ですね ^^

14701:√n+√(n+2005) が整数になるnは？

問題14701・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=6 より 引用 Orz〜

正の整数nであって, √n+√(n+2005)もまた正の整数となるようなものを全て求めよ.

(2005 ベルギー　フランダース数学オリンピック)

解答

・わたしの…

n=m^2

2005=1*2005=5*401=(k-m)(k+m)

m=(2005-1)/2=1002

or 

=(401-5)/2=198

so…

n=1002^2=1004004

or

n=128^2=16384

だけね…^^

*赤字で訂正 Orz…

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

14700：プレミア数...

問題14700・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=6 より 引用 Orz〜

10進法で各桁に同じ数字が2度以上現れない正の整数を「プレミア数」と呼ぶことにする. A,B はともに4桁のプレミア数であり, Aより大きくかつBより小さいプレミア数は存在しないという. このとき, B-Aの値が最大となるようなA,Bを全て求めよ.

解答

・わたしの…

9012-8976=36

これ以外ありますかいねぇ…?

↑

もっと大きなものがありましたのね ^^;

↓

・鍵コメY様からのもの Orz〜

1203−1098＝105 ，8901−8796＝105 

*デジャヴー…^^;

いつも見つけられないなぁ…^^;;

14699：p,2^p+p^2いずれも素数であるものは？

問題14699・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=6 より 引用 Orz〜

素数pであって,2^p+p^2が素数であるようなものを全て求めよ.

(2011 バルカン数学オリンピック)

解答

・わたしの…

p=6m+1,6m+5

2^(6m+1)+(6m+1)^2

≡2*(33-1)^(2m)+1

≡0　mod 3

2^(6m+5)+(6(m+1)-1)^2

≡(33-1)*(9-1)^(2m)+1

≡0

so…

2 or 3

2^2+2^2=8…駄目

2^3+3^2=17…OK ^^

14698：証明...2005の倍数で、0〜9がいずれも等しい回数現れるような数は無限個ある…^^;

問題14698・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=6 より 引用 Orz〜

2005の倍数であって,各桁に0,1,2,3,4,5,6,7,8,9がいずれも等しい回数現れるようなものが無限個存在することを示せ.

(2005 オーストリア連邦競技会)

解答

・わたしの…

1/2005=1/(5*401)

周期200の循環小数…

これらは、真ん中の前半と後半でそれぞれの数字の和が9になることが知られている…

and…0〜9の個数を拙く ^^;...数えてみると…0-9,1-8,2-7,3-6,4-5 の個数は20個で等しい…(これをどう説明すればいいのか知らん?)

so…

この循環小数*10^203,(10^203)^2,…はすべて、2005の倍数で無限にありますね ^^;v

↑

ウソでした ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

条件を満たす数を1つ構成できれば，
その数を何回か繰り返したものも条件を満たすので出来上がりですが，
「この循環小数*10^203」は2005の倍数ではないと思います．

*まったく関係ないことを考えてましたです ^^;;

2005=5*401 (素因数分解)．
10^400≡1 (mod 401)だから，
「1234567890」を40回繰り返した数をAとして，

*1234567890の10個の数字なので,400/10=40回繰り返したもので,

以下のようにすればいいわけなのねぇ☆…パズルチック♪

(1+10^400+10^800+…+10^(400*400))A，つまり
「1234567890」を40*401回繰り返した数は2005の倍数です．

*お気に入りぃ〜^^♪