アットランダム≒ブリコラージュ

14935：正の整数n,その全ての正の約数の積=n^3となるものは？...

問題14935・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=12 より 引用 Orz〜

正の整数nであって,その正の約数全ての積がn^3であるようなものを全て求めよ.

(2011 スイス数学オリンピック)

解答

・わたしの...

1,a,nはない...

1,a,b,nもない...

1,a,b,c,nもない...

1,a,b,c,d,n なら...ad=n,bc=n でありうる...

約数が6個なので...

p*q^2 or p^5・・・p,qは素数が満たしますね ^^

↑

不完全でした...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「自然数nの正の約数の相乗平均は√n」を用いれば，
基本的には，正の約数の積がn^3となるのは，正の約数が6個の場合であり，
素数p,qを用いて「p*(q^2)」とか「p^5」と表される数となります．
ただし，唯一の例外として，「1」が，すべての正の約数の積が1となるから
条件を満たします．

*約数の相乗平均が√nなら...

(n^3)^(1/6)=n^(1/2) から...約数の個数が6個ってわけですね ^^v

14934：4桁の正の整数,その各桁の和の3乗に等しいものは？

問題14934・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=12 より 引用 Orz〜

4桁の正の整数であって,その各桁の和の3乗に等しいようなものを全て求めよ.

(1998 スペイン数学オリンピック)

解答

・わたしの...

10000^(1/3)=21.

10^3<=m<21^3

10^3=1000

11^3=1331

12^3=1728

13^3=2197

14^3=2744

15^3=3375

16^3=4096

17^3=4913・・・ビンゴ♪

18^3=5832・・・ビンゴ♪

19^3=6859

20^3=8000

21^3=9216

so...

4913 と 5832 ね ^^

これって...単純な計算問題あるか...?

・鍵コメT様のスマートな解法 Orz〜♪

単純な計算問題とも言えますが，
次のように考えることで，試行錯誤を減らすことも可能です．

nの各桁の数字の和をf(n)と表すとして，n≡f(n) (mod 9)です．
(f(n))^3=nであれば，n^3≡n (mod 9)となって，
n(n-1)(n+1)が9の倍数となることがわかります．
n-1,n,n+1のうちには3の倍数は1つだけだから，これは，
n-1,n,n+1のうちに9の倍数があることを意味し，
n≡0,±1 (mod 9)となるので，
k^3 (kは10〜21)の内で，調べる必要があるのはk=10,17,18,19だけですね．

このように考えると，5桁の場合も容易に考察ができ，

*k=22〜46

26,27,28, 35,36,37, 44,45,46

28^3=21952

35^3=42875

36^3=46656

37^3=50653

44^3=85184

45^3=91125

46^3=97336

26^3=17576,27^3=19683
だけが条件を満たすことがわかります．

*ナイスですねぇ ^^♪

14933：証明...先頭の4桁が1137である整数nの各桁の数字をうまく並べ変えると7で割り切れるようにできる...

問題14933・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=12 より 引用 Orz〜

ある正の整数nは,その最初の4桁が"1137"であるという.このとき,nの各桁の数字を上手く並び替えることで,新たに出来た数が7で割り切れるようにできることを示せ.

(2003 南アフリカ数学オリンピック)

解答

・わたしの...

3171≡0 mod 7

3711≡1

3117≡2

1137≡3

1173≡4

1713≡5

1371≡6

があるので...

その前の数*10000≡r 

r=0〜6

この後に...上のいずれかを対応させてr+k≡0にできるkの並びをくっつけられるので可能ね ^^

*夜当番の呼び出しあって昨日中のアップに間に合わなかったあるね...^^;