アットランダム≒ブリコラージュ

14954：1+nC1+nC2+nC3が2^2000を割るnは？

問題14954・・・http://tweez.net/handmade_math/archive/5/ より 引用 Orz〜

3より大きな整数nであって,1+nC1+nC2+nC3が2^2000を割り切るようなものを全て求めよ.

(1998 中国数学オリンピック)

解答

・わたしの...

(1+1)^n=nC0+nC1+nC2+nC3+...+nCn

明らかに...

n=7ならば...与式=2^7/2=2^6

これ以外ないことはわからない...^^;

↑

やっぱりまだあり得ましたのね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1+nC1+nC2+nC3=1+n+n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6
=(n+1)+n(n-1)/6*(3+(n-2))
=(n+1)/6*(6+n(n-1))
=(n+1)(n^2-n+6)/6.
これが2^2000の約数だから，
n+1,n^2-n+6の素因数分解には，一方に3が1つだけ現れ，他はすべて2．…(*)
また，n^2-n+6=(n+1)(n-2)+8だから，
n+1とn^2-n+6の最大公約数は8の約数．…(**)

n+1が16の倍数とすれば，n≧15，n^2-n+6≧216>(2^3)*3となって，
(*)よりn^2-n+6は素因数2を4個以上持つことになり，(**) に反する．
よって，n+1は16の倍数ではない．
n>3と(*)より，n+1の候補は6,8,12,24に限定される．
それぞれ，n^2-n+6を計算すると，26,48,116,512となり，
(n+1,n^2-n+6)=(8,48),(24,512)のときが条件を満たす．

以上より，n=7,23.

*考え方がよくわかりましたわ♪

14953：列の末尾12個の和を11で割った余りを列の後ろに加える操作で,「081081081081081」から始めて「072145451919]が現れるか？

問題14953・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=13 より 引用 Orz〜

有限整数列に対して,次の操作を繰り返し行う:『列の末尾12個の数の和を11で割った余りを,列の後ろに加える.』「0,8,1,0,8,1,0,8,1,0,8,1」からこの操作を始めるとき,列のどこかに「0,7,2,1,4,5,4,5,1,9,1,9」が現れることはあるか.

解答

・わたしの...

気づけたかな ^^

「0,7,2,1,4,5,4,5,1,9,1,9」

1-(0〜9)=-1〜-8=10〜3 までの数しか出ないはずなので、

1から4になることはないですね ^^

14952：2016^n の各桁の積

問題14952・・・http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=18479 より 引用 Orz〜

(1)
整数Nの各桁の数の和を新たな整数Nとする，という操作を何度も繰り返します．

最初，N=2016²⁰¹⁶とすると，最終的に1桁の整数[ア]になります．

(2)
整数Nの各桁の数の積を新たな整数Nとする，という操作を何度も繰り返します．

最初，N=2016^[イ]とすると，最終的に1桁の整数[ウ]になります．但し，[イ]には2016以上の整数から1つ自由に選んでくれて構いません．また[ウ]と答えた簡単な理由も添えて下さい．

解答

・わたしの...

(1)

2016≡0 (mod 9)

nod 9 で桁の和が0のものは何乗しても0

so...ア=0

(2)

？

↑

間違ってます ^^; Orz...

＊上記サイト参照 ☆

そっか!!

お気に入り♪

面白い問題ね☆

14951：証明...1〜7の和がそれぞれ10回ずつ現れる70桁の整数はいずれの2つも倍数・約数にはならない...

問題14951・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=13 より 引用 Orz〜

各桁に1,2,…,7がそれぞれ10回ずつ現れるような70桁の整数は,そのうちどの相異なる2つも一方が他方を割り切らないことを示せ.

(2011 カナダ数学オリンピック)

解答

・わたしの...

11...1122...22....77...77〜77...7766...66...11...11

あるとすれば2〜6の倍数となるはず...

(1+2+3+4+5+6+7)=28≡1 (mod 9)

((各桁の和が変わらないのは...1 or 9の倍数のとき))なので...

存在しない...

(( ))の9の倍数のときは変わらないはずですが...うまく言えません...^^;

14950：各桁に2種類の数字しか現れない正の整数,1〜9いずれでも割り切れる最小数は？

問題14950・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=13 より 引用 Orz〜

10進法で各桁にちょうど2種類の数字が現れる正の整数であって,1以上9以下の整数全てで割り切れるようなものの最小値を求めよ.

(2011 メキシコ数学オリンピック)

解答

・わたしの...

2,5で割れるので...0

9で割れるので...各桁の和=9の倍数

so...3 or 6 or 9

小さいもの...

33300/7

333000/7

303300,330300

3330000,3003300,3030300/7=432900 ビンゴ♪

6660/7  はないので...これが最小ね ^^

たまたまでラッキー ^^;v