アットランダム≒ブリコラージュ

14967：正の整数a,b,cはこの順で等比数列をなし,a＋b＋c=111となるものは？

問題14967・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=16 より 引用 Orz〜

正の整数の組(a,b,c)であって,a,b,cがこの順に等比数列をなし,かつa+b+c=111が成り立つようなものを全て求めよ.

(2002 南アフリカ数学オリンピック)

解答

・わたしの...

a,b,cは整数なので...公比は有理数...q/p (p,qは互いに素)

a+b+c=a(1+q/p+q^2/p^2)=111

111*p^2=a(p^2+pq+q^2)

p^2 とp^2+pq+q^2とは互いに素なので...

a=p^2=1,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2,8^2,9^2,10^2

a=1,p=1

1+q+q^2=111・・・q=10

a=4,p=2

111=2^2+2q+q^2

107=q(2+q)...107は素数なので解なし

a=9,p=3

111=3^2+3q+q^2

102=2*3*17=q(3+q)・・・解なし

a=16,p=4

111=4^2+4q+q^2

95=5*19=q(4+q)・・・解なし

a=25,p=5

111=5^2+5q+q^2

86=2*43=q(5+q)・・・解なし

a=36,p=6

111=6^2+6q+q^2

75=3*5^2=q(6+q)・・・解なし

a=49,p=7

111=7^2+7q+q^2

62=2*31=q(7+q)・・・解なし

a=8^2,p=8

111=8^2+8q+q^2

47=q(8+q)・・・解なし

a=81,p=9

111=9^2+9q+q^2

30=2*3*5=q(9+q)・・・解なし

a=100,p=10

111=10^2+10q+q^2

11=q(10+q)・・・q=1

けっきょく...

(a,b,c)=(1,10,100), (100,10,1) だけね ^^

14966：証明...1より大きいn, n^(n-1)-1は(n-1)^2で割り切れる...

問題14966・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=15 より 引用 Orz〜

 任意の1より大きな整数nに対して, n^(n-1)-1は(n-1)^2で割り切れることを示せ.

(2001 ベルギー　フランダース数学オリンピック)

解答

・わたしの...

n=2...

2^1-1=1 は(2-1)^2=1 で割り切れる...

n>=3...

n^(n-1)-1 =((n-1)+1)^(n-1)-1

                =(n-1)^(n-1)+(n-1)C1*(n-1)^(n-2)+(n-1)C2*(n-1)^(n-3)+...+(n-1)C1*(n-1)

例えば...

n=3

2^2+2*2 は(3-1)^2=2^2 で割れる

n=4

3^3+3*3^2+3*3は(4-1)^2 で割れる

n=5

4^4+4*4^3+(4*3/2)*4^2+4*4 は(5-1)^2 で割れる

...

so...

すべての項で...(n-1)^2 を持つから...

うまく言えない...^^;

14965：正の整数n...√n+√(n+2005)も整数になるnは？

問題14965・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=15 より 引用 Orz〜

正の整数nであって, √n+√(n+2005)もまた正の整数となるようなものを全て求めよ.

(2005 ベルギー　フランダース数学オリンピック)

解答

・わたしの...

n+2005=m^2

n=t^2

m^2-t^2=(m-t)(m+t)=2005=5*401

m-t=5

m+t=401

m=406/2=203

t=(401-5)/2=198・・・n=198^2

m-t=1

m+t=2005

m=2006/2=1003

t=2004/2=1002・・・n=1002^2

けっきょく...

n=198^2=39204,1002^2=1004004 ね ^^

じっさいに...

198+√(198^2+2005)=198+203=401

1002+√(1002^2+2005)=1002+1003=2005

14964：44...4488...88-133...332 (4,8がn個,3がn-1個) は平方数...

問題14964・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=15 より 引用 Orz〜

任意の正の整数nに対して,

N=44...4488...88-133...332(4はn個,8はn個,3は(n-1)個)は平方数であることを示せ.

(2013 アルゼンチン　コーノ・スールTST)

解答

・わたしの...

44...4355...56

48-12=36=6^2

66^2=4356=4488-132

666^2=443556=444888-1332

6666^2=44435556=44448888-13332

...

だから ^^

14963：1+5・2^m=n^2 を満たす正の整数(m,n)は？

問題14963・・・http://en.whotwi.com/handmade_math/tweets?&page=15 より 引用 Orz〜

正の整数の組(m,n)であって,1+5・2^m=n^2を満たすようなものを全て求めよ.

(2006 オーストラリア数学オリンピック)

解答

・わたしの...

n^2-1=(n-1)(n+1)=5*2^m

n-1とn+1は互いに素...

so...

n-1=5・・・n=6

n+1=2^m・・・満たすものはない...

n+1=5・・・n=4

n-1=2^m・・・満たすものはない...

n-1=1・・・n=2

n+1=5*2^m・・・満たすものはない...

解なし...?