アットランダム≒ブリコラージュ

15121：倍数と余り...基本 ^^

問題15121・・・http://www.dr2960.com/e_semi/2009/e-semi13901.html より 引用 Orz〜

（１） ６０をわっても８６をわっても８余る数を全て求めなさい。 

（２） １８でわっても２４でわっても８余る数を小さい方から２つ求めなさい。

（3） ６でわると３あまり、７でわると４あまる１００に最も近い数を求めなさい。

（4） ８でわると５あまり、６でわると１あまる数で小さい方から三番目の数を求めなさい。

解答

・わたしの...

(1)

60-8=52

86-8=78

52と78の公約数で9以上のもの...

52=2^2*13

78=2*3*13

so...13,26

(2)

18a+8=24b+8

3a=4b

a=4,b=3

a=8,b=6

so...

18*4+8=80

18*8+8=(20-1)*8=160-8=152

(3)

m+3=42n

42*2=84...m=81

42*3-3=126-3=123

so...100により近いのは...81

↑

赤字で訂正 ^^; Orz...

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _);m〜)

(4)

8+5=13 は6で割ると1余るので...

8,6の最小公倍数24の倍数+13

つまり...

24m+13 なので...

13,37,61

15120：(x+2)(x+4)(x+6)...(x+2n) の展開式のx^(n-2)の係数は？

問題15120・・・http://www.dr2960.com/e_semi/2009/e-semi14503.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

項数はn個なので...

x^(n-1) の係数=2(1+2+...+n)=n(n+1)

x^(n-2) の係数

=2^2*(1*2+1*3+...+1*n+2*3+...+2*n+3*4+...+3*n+...+(n-1)n)

=2^2*Σ[k=1〜(n-1)] k(k+1)

=2^2*(Σk^2+Σk)

=2^2*((n-1)n(2n+1)/6+(n-1)n/2)

=2^2*n(n-1)(n+2)

^^

↑

*x^(n-2)の係数がおかしかったわ...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

x^(n-1)の係数は正しいと思います．
x^(n-2)の係数ですが，
((2+4+6+…+2n)*(2+4+6*…+2n)-(2^2+4^2+6^2+…+(2n)^2))/2
=((n^2)((n+1)^2)-4*(1/6)n(n+1)(2n+1))/2
=(1/6)n(n+1)(3n(n+1)-2(2n+1))
=n(n+1)(3n^2-n-2)/6
=(n-1)n(n+1)(3n+2)/6
となります．

*そうだったなぁ...^^;v

15119：f(x)=ax^2+bx+c (0<=x<=2)の最大値がf(2),38<=f(2)-f(1)<=50を満たす整数の組(a,b)の個数は？

問題15119・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38198348.html より Orz〜(あれ...アップし損ねてたようです...〜m(_ _);m〜)

　ｘの関数 f(x)＝ax²＋bx＋c (0≦x≦2) について、

　最大値が f(2) で、38≦f(2)−f(1)≦50 を満たすときの整数の組(a，b)の個数は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38209221.html より Orz〜

　a≧0 のとき、最大値は f(2)，f(0) のいずれかなので、f(2)≧f(0) であればよい。

　4a＋2b＋c≧c 、b≧−2a です。

　a＜0 のとき、軸 x＝−b/(2a) が x≧2 の部分にあればよいので、−b/(2a)≧2 、

　−2a＞0 なので、b≧−4a です。

　次に、38≦f(2)−f(1)≦50 より、38≦(4a＋2b＋c)−(a＋b＋c)≦50 、38≦3a＋b≦50 、

　−3a＋38≦b≦−3a＋50 になり、

　ab平面での領域 b≧−2a ，b≧−4a ，−3a＋38≦b≦−3a＋50 の格子点の個数を求めることになります。

　これは、(−38，152)，(38，−76)，(50，−100)，(−50，200) を頂点とする台形の辺と内部になり、

　その面積は |50･200−(−100)(−50)|/2−|(−38)(−76)−152･38|/2＝1056 、

　辺上の格子点は |a|＝50 のとき 1個，|a|＜50 のとき 2個ずつなので、2＋2･99＝200 、

　求める格子点の個数をｎとすれば、内部の格子点は n−200 個なので、ピックの定理より、

　(n−200)＋200/2−1＝1056 、n−101＝1056 、n＝1157 です。


　なお、f(2)−f(1)＝k とおけば、ｋは 38≦k≦50 を満たす整数であり、3a＋b＝k 、b＝k−3a です。

　b≧−2a に代入すれば、k−3a≧−2a 、a≦k 、b≧−4a に代入すれば、k−3a≧−4a 、a≧−k で、

　−k≦a≦k になり、2k＋1 個の格子点があります。

　k＝38，39，40，……，50 として加えると、

　77＋79＋81＋……＋101＝(77＋101)･13/2＝1157 です。

*格子点の数え方がよくわからず...^^;

PCで計算...Orz...

a=0
2b-b=b
38<=b<=50・・・13個

a>0
f(x)=a(x+b/(2a))^2+…
-b/(2a)<=1 ならいい…
b>=-2a 

a<0
-b/2a>=2 ならいい…
b>=-4a

f(2)-f(1)=3a+b
38<=3a+b<=50

それぞれで…
計算させました…Orz
a>0・・・572個
a<0・・・572個
so…13+2*572=1157

15118：チェッカー盤の感染...^^;

問題15118(友人問)

n*nのチェッカー盤のマスの間で伝染病が広がっている。感染するのは、隣の2つ以上がすでに感染しているマスである。ここで“隣”というのは、縦横だけで斜めは数えない。

例えば、左上から右下に対角線上にnマスが感染源だとすると最終的に盤全体が感染する。

最初に感染しているマスがnマスより少ない場合、チェッカー全体を感染させることは出来ないことを示せ。

解答

・わたしの...

どう言えば言えてることになるのかわからない...^^;

斜め2個で2*2個すべて感染...

その塊を1個と考えると、その斜めに1個必要...

つまり、縦、横にないと拡大できない...

so...n*nなら、少なくとも斜めにn個ないと感染できない...

ってなことでいいのかしらん...^^;...?

*鍵コメH様からのヒント頂戴ぃ〜Orz〜

例えば3×3の配置でも、■が感染しているマスだとして

■□□
□□□
■□■

このような配置でも全てのマスが感染します.

ヒントは感染している領域の「周長」の変化といったところでしょうか.

・友人から届いたもの...

*鍵コメH様のヒントはこれでしたのねぇ☆

but...こんなことは気づけましぇ〜〜〜ん ^^;...Orz...