アットランダム≒ブリコラージュ

14923：正の整数n,p(n)は0でない桁の積,S=p(1)+p(2)+...+p(999) のときのSの最大の素因数は？

問題14923(友人問)

正の整数nが与えられたとき、p(n)をnの0でない桁すべてを掛けた値とする。

（nが1桁のときp(n)=nである）

S=p(1)+p(2)+……….+p(999) とする。

Sの最も大きい素因数を求めよ。

解答

・わたしの...

p(1)+p(2)+...+p(9)=1+2+...+9

p(010)=1

p(11)+p(12)+...+p(19)=1+2+...+9

p(020)=2

p(21)+p(22)+...+p(29)=2(1+2+...+9)

p(030)=3

p(100)=1

p(101)+p(102)+...+p(109)=1+2+...+9

p(110)=1

p(111)+p(112)+...+p(119)=1+2+...+9

p(001)+p(002)+...+p(999)は...

3桁とも0がない数字...

45^3

1桁だけが0の数字...

3*45^2

2桁だけが0の数字...

3*45

の和=45(45^2+3*45+3)

      =3^3*5*(15*45+45+1)

      =3^3*5*721

      =3^3*5*7*103 =97335

so...

最大の素因数は...103 ね ^^

(間違いに気づいて直しました...Orz...まだ間違ってたりして...?)

↑

どこかおかしいようだす...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

問題14703(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=14703&sk=0)と同様に考えて，S=46^3-1=(46-1)(46^2+46+1). =97335

46^2+46+1は3で割り切れ，(46^2+46+1)/3=721=7*103だから，
最大素因数は103.

「0を1に置き換えて考える」のが最善の策だと思います．
(問題14703でもその考え方を用いています．)
ただし，桁数で分類する必要はなく，
[000]〜[999]であれば，各位ごとに0 (計算時は1)と1〜9が現れるので
(1+1+2+3+…+9)^3となり，
[000]の分(1*1*1=1) を除いて，46^3-1と計算する方が得ですね．

*そっか!!

同じ数値だったこと確認しましたぁ ^^;v

貴殿の方法と雲泥の差だす...^^;;...

14922：2桁の整数ab,baの和が3桁の数cbd,考えられるcbd全ての和は？

問題14922・・・http://www.sansuu.net/challenge/challengeq/challengegwq.htm より 引用 Orz〜

２けたの整数○△と△○をたすと、３けたの整数☆△□になりました。このときの３けたの整数☆△□として考えられるものをすべてたすといくらになりますか。ただし、○、△、☆、□は異なる数字を表します。

解答

・わたしの...

10a+b+10b+a=11(a+b)=100c+10b+d

a+b=10...

10=1+9=2+8=3+7=4+6・・・10*4

11=2+9=3+8=4+7=5+6・・・11*4

12=3+9=4+8=5+7・・・12*3

13=4+9=5+8=6+7・・・13*3

14=5+9=6+8・・・14*2

15=6+9=7+8・・・15*2

16=7+9・・・16*1

17=8+9・・・17*1

so...

11*((10+11)*4+(12+13)*3+(14+15)*2+(16+17)*1)=2750

ね ^^

何かもっとスマートに言えそうな予感...?

↑

わけわかめなことやらかしてました...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「3桁の整数☆△□として考えられるものをすべてたす」問題なので，
例えば11*10が19+91,28+82,37+73,46+64と表されたとしても，
足すのは1回だけです．
(実際は，以下に示すように，各数の表し方は1通りです．)
また，そもそも110は☆=△となっていて不適ですし，
それ以外の組み合わせも含め，〇，△，☆，□が
すべて異なるように表せるかどうかを確かめる必要があります．

以下において，割り算「÷」は，小数点以下を切り捨てる計算とする．
[〇△]+[△〇]=11(〇+△)より，[☆△□]は11の倍数．
また，☆は1に確定する．
さらに，〇は[☆△□]/11-△で計算され，[1△9]÷11から△を引いたもの，
つまり，([1△9]-11*△)÷11=(109-△)÷11であるから，〇=9.

よって，〇，△，☆，□が異なる数字を表すとき，
[☆△□]としてあり得るものは，132,143,154,165,176,187.
(いずれも，〇=9に対して条件を満たす．)
合計は，11*(12+13+14+15+16+17)=957.

*オェ...思ってたことより難ぃ...^^;;...

14921：5桁の数 73AB2 が12の倍数でないものは何個？...クイズ ^^

問題14921・・・http://www.sansuu.net/challenge/challengeq/challenge013q.htm より 引用 Orz〜

５けたの整数７３ＡＢ２を考えます。この５けたの整数のうち１２で割り切れないものは全部で何通りありますか。ただし、Ａ、Ｂは各位の数字とし、同じ数字が入ってもいいものとします。

解答

・わたしの...

4の倍数...12,32,52,72,92

3の倍数...7+3+2=12 なので...

B=1,7のときは...2,5,8がダメ

B=3,9のときは...0,3,6,9がダメ

B=5のとき...1,4,7がダメ

so...

10^2-(2*3+2*4+3)=83通り　ね ^^

14920：248,81012,141618,202224,....というある決まりの数列が100個並んでいる,1億以上2億以下の数は何個ある？...クイズ ^^

問題14920・・・http://www.sansuu.net/challenge/challengeq/challenge006q.htm より 引用 Orz〜

次のようなきまりでつくられた整数が１００個並んでいます。
２４６、８１０１２、１４１６１８、２０２２２４、２６２８３０、３２３４３６、 …………
（例えば、３２３４３６は６個目の数です。）
この１００個の数の中で、１億（１００００００００）以上２億（２００００００００）以下の数はいくつありますか。

解答

・わたしの...

偶数を3個並べていく...3番目の数は2*3=6の倍数

例えば...36/6=6番目

so...

100番目は...596598600

100/6=16...4

6*17=102

104106108

200/6=33...2

6*34=204

200202204

so...

194196198

33-16=17個　ね ^^

↑

ミステイク...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

17番目の「98100102」までは1億には届きません．
18番目「104106108」から33番目「194196198」までが条件を満たし，
個数は33-17=16(個)ですね．

*でしたぁ ^^;v

14919：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,...というある決まりに並んだ数を最初から掛け合わせたとき,1の位から100個続けて0が並ぶものは何通り？...クイズ ^^

問題14919・・・http://www.sansuu.net/challenge/challengeq/challenge004q.htm より 引用 Orz〜

次のように、あるきまりにしたがって、数が並んでいます。

１、２、２、３、３、３、４、４、４、４、５、５、５、５、５、６、……

最初から順に何個かの数をかけあわせてできる数を書き表したとき、一の位から１００個続けて０が並びました。かけあわせた数として考えられる場合は、何通りありますか。 

解答

・わたしの...

100/5=20=1+2+3+4+10・・・25,26,27,28,29

so...

1+26+27+28+29=111 通り　ね ^^