こんにちは、ゲストさん
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次の条件を満たす正の整数nの最小値を求めよ:nは1の位が7であり,nの1の位を最上位に移動させると,もとの数の5倍になる.
(1986 インド数学オリンピック)
解答
・わたしの...
筆算で...^^
142857
5
-----------
714285
so...
n=714285
あとは...
142857142857...の繰り返しね ^^
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正の整数nであって,nの相異なる正の約数をうまく4つ選ぶと,その和がちょうどnになるようなものを全て求めよ.
解答
・わたしの...
1=1/a+1/b+1/c+1/d
1<a<b<c<d
1<4/a
a=2,3
a=2...
1/2=1/b+1/c+1/d
1/2<3/b
2<b<6
so...
b=3...
1/6=1/c+1/d
1/6<2/c
6<c<12
みたいにして求めればいいと思うも...面倒にてスキップ...^^; Orz...
PCにさせてみると...
a=2,(b,c,d)=(3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(4,5,20)
a=3 のとき...解なし
けっきょく...
(a,b,c,d)=(2,3,7,42) のとき...
42=2*3*7
so...n=2*3*7=42=21+14+6+1
(a,b,c,d)=(2,3,8,24)のとき...
24=3*2^3
so...
n=2^3*3=24=12+8+3+1
(a,b,c,d)=(2,3,9,18)のとき...
18=2*3^2
so...
n=2*3^2=18=9+6+2+1
(a,b,c,d)=(2,3,10,15)のとき...
n=15
(a,b,c,d)=(2,4,5,20) のとき...
n=20=10+5+4+1
ね ^^
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ちょうど2002個の相異なる正の整数からなる集合であって,その1個以上の要素の和が決して累乗数にならないようなものが存在することを示せ.
(2002 ブラジル数学オリンピック)
解答
・わたしの...
n>=2のn!は累乗にはならない...
2<3<2*2
3<5<2*3
のように、その素因数を2個含むものを考えると、新たな素数が1個含まれてしまうから...
so...
2!,3!,4!,5!,...,2003! の2002個は、
例えば、
4!+50!+100!=4!*(1+50!/4!+100!/4!)は、1+50!/4!+100!/4! は4!を持たないし、4!は累乗数ではないから...題意をみたす ^^
みたいなことでいいのかな？
↑
嘘でした ^^; Orz...
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
2!,3!,…,2003!のいくつかの和について，最小のものをa!として，
(1+b!/a!+c!/a!+…)はa!と互いに素とは限らず，a!の倍数にもなり得ます． 実際，例えば2!+3!=2!*(1+3!/2!)=2*4=8=2^3は累乗数です． ある自然数Nに対し，N以下の累乗数の個数をf(N)とする． N以下で，2の累乗となるものの個数は(logN)/(log2)以下， N以下で，3の累乗となるものの個数は(logN)/(log3)以下，…， N以下で，[√N]の累乗となるものの個数はlogN/log[√N]以下 であり，[√N]+1以上の数の累乗となるものはないから， f(N)≦(logN)/(log2)*√Nであり，0≦f(N)/N≦((logN)/(√N))/log2. これより，N→∞のとき，f(N)/N→0であり，
『任意の自然数A,Bに対し，
「B以上の自然数mで，mからの連続A個の自然数がどれも累乗数でない ようなmが存在する」ことがわかります．』 *肝心な...『』の部分が、特に連続するA個のどの自然数も累乗数でないものが存在することが俄にわからないわたし...^^;;... これを用いて，以下のようにできます． 集合の性質「その1個以上の要素の和が累乗数にならない」を[*]とする．
ある有限集合Aが[*]を満たすとき，その最大要素をM，要素の総和をSとして， M+1以上の自然数mで，mからの連続S+1個の自然数がどれも累乗数でない ようなmをとり，A'=A∪{m}を考えると，A'も[*]を満たす． つまり，Aよりも要素が1つ多く，[*]を満たす集合が構成できる． これより，集合{2}からはじめて， [*]を満たしながら集合の要素を1つずつ増やしていくことができ， 要素数を2002にすることも可能である． {2}について，最大要素は2，要素の総和は2．
3以上の自然数で，累乗数でないものが3つ以上連続するものとして， 「5,6,7」があるから， {2}に「5」を加えた{2,5}は，いくつかの要素の和は累乗数にならない． {2,5}は，最大要素は5，要素の総和は7． 6以上の自然数で，累乗数でないものが8個以上連続するものとして， 「17,18,19,20,21,22,23,24」があるから， {2,5}に「17」を加えた{2,5,17}は，いくつかの要素の和は累乗数にならない． {2,5,17}は，最大要素は17，要素の総和は24． 18以上の自然数で，累乗数でないものが25個以上連続するものがあれば， その先頭の数を{2,5,17}に付け加えた集合は， いくつかの要素の和は累乗数にならない． このように， 「B以上の自然数mで，mからの連続A個の自然数がどれも累乗数でないm」 が，任意のA,Bについて存在することが示せた時点で， 性質[*]を満たす集合の要素数はいくらでも増やせることがわかります． *論理展開は了解できましたが...思いつけないわ ^^;...
*追記...鍵コメT様からのもの Orz〜
もし，ある自然数A,Bに対し，
「B以上の自然数mで，mからの連続A個の自然数がどれも累乗数でないmが 存在しない」とすると， Bからの自然数をA個刻みに 「B〜B+A-1」，「B+A〜B+2A-1」，「B+2A〜B+3A-1」，… のように分けるとき，どの分類中にも最低1個の累乗数が存在し， すると，B+nAまでの自然数には累乗数がn個以上存在することになって， lim[n→∞](n以下の累乗数の個数)/nは，収束するなら1/A以上のはずです． lim[n→∞](n以下の累乗数の個数)/n=0が既に示されているので， これは矛盾であり， 「B以上の自然数mで，mからの連続A個の自然数がどれも累乗数でないmが 存在しない」ことはあり得ないことになります． もし，「B+kA〜B+(k+1)A-1」の内に累乗数が存在しないとすると，
「B以上の自然数mで，mからの連続A個の自然数がどれも累乗数でないm」 としてm=B+kAが存在してしまいます． *かなり輻輳した思考ねぇ ^^;
なんとかついて行けましたような気がする...Orz〜☆
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よしお君は家族で回転ずしを食べに行きました。よしお君は、右図のメニューの中で「まぐろ」２皿と「いくら」２皿と、「えび」と「中とろ」と「サーモン」を１皿以上食べたところ、全摂取カロリーは１４００kcalになりました。
ここで問題です。 よしお君が食べた寿司の合計金額が一番安い場合、その時の合計金額を求めて下さい。 解答
ライブ問にてまたいずれ ^^
冷静に考えたら気づけましたでござる ^^;v
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画像：https://bake-openlab.com/5408 より 引用 Orz〜
図のような、∠Ａ＝６０°の三角形ＡＢＣがあります。
いま、辺ＡＢ上にＡＤ＝５cmとなる点Ｄを、辺ＡＣ上に点Ｅをとり、ＣＤとＢＥの交点をＰとしたところ、ＢＰ＝ＣＰ、ＤＰ:ＥＰ＝１：３、∠ＢＰＣ＝１２０°となりました。 このとき、ＡＥの長さは何cmであるかを求めてください。 解答
ライブ問にてまたいずれ ^^
無理やり解いたって感じ...^^;
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