アットランダム≒ブリコラージュ

12369：奇数整数係数2次方程式の解は無理数...

問題12369・・・http://wasmath.la.coocan.jp/seisuu056.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

(2k-1)^2

=4k^2-4k+1

=4k(k-1)+1

k(k-1)は偶数だから…

≡1　mod 8

(2)

有理数の解を持つとすると…

放物線の中心のx座標を有理数pとして

(x-p-α)(x-p+α)=0

x^2-2p*x+(p^2-α^2)=0

これを整数係数に変換しても…b=偶数　になるので…

有理数解を持たない…^^

↑

自信あったんだけど…崩壊してました ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2) 例えば，p=1/4，α=3/4とすると，x^2-(1/2)x+(1-9)/16=0で，
整数係数に直せば，2x^2-x-1=0です．
(これは，aが偶数になっていますが，少なくともbが偶数とは言い切れません．)

実は，問題が少しまずいです．
例えば，3x^2+3x+1=0の解は虚数であり，無理数とは言いません．

多分，「有理数の解をもたない」と言いたいのでしょうね．

[解1]
解の公式を用いて，
ax^2+bx+c=0 (a≠0)の解は，
x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a).
b^2-4acが平方数にならないことを示せばよい．
(1)より，b^2は8で割った余りが1．
4acは奇数の4倍より，8で割った余りが4であるから，
b^2-4acは8で割った余りが5で，奇数であって，平方数にはなり得ない．
よって示された．・・・上手いものですねぇ☆

[解2]((1)を無視して)
ax^2+bx+c=0が有理数の解x=p/qをもったと仮定する．
ただし，p,qは互いに素な整数．
a(p/q)^2+b(p/q)+c=0より，ap^2+bpq+cq^2=0.
ここで，pが偶数とすると，cq^2が偶数となり，
cは奇数だからqが偶数となって，p,qが互いに素であることに反する．
qが偶数のときも同様に矛盾が生ずる．
よって，p,qはともに奇数．
このとき，ap^2+bpq+cq^2は奇数であり，0とはなり得ない．

12368：整式の最大公約数...

問題12368・・・http://wasmath.la.coocan.jp/seisuu055.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

(x^2-xy+y^2)/(x+y)

=(x+y)-3xy/(x+y)

3xy/(x+y) が割り切れるとき…x+y と xyは互いに素なので割り切れないので割り切れるとすると x+y=3

が最大公約数

割り切れない時は…互いに素ということになり…最大公約数=1

みたいなことでいいですよね ^^

(2)

(x+y)(x^2-xy+y^2)=3^z

(1)より…

x+y>=2　にて…

x+y, x^2-xy+y^2 の最大公約数は3しかあり得ないので...

x+y=3

x=1,y=2

3*(1-2+4)=3^2…z=2

so…

(x,y,z)=(1,2,2), (2,1,2)

↑

怪しい証明でしたのね ^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)で，「割り切れないなら互いに素」はダメです．
例えば，x=2,y=7のとき，x+y=9,x^2-xy+y^2=39であり，
割り切れませんが，最大公約数は3です．

x+yとx^2-xy+y^2の最大公約数をgとする．
3xy=(x+y)^2-(x^2-xy+y^2)より，3xyはgの倍数．gは3xyの約数．
ここで，x,yは互いに素より，
xyの素因数はx,yの一方のみの素因数であり，x+yの素因数にはならない．
これより，x+y,xyは互いに素であり，gとxyも互いに素．
したがって，gは3の約数とわかり，1,3に限る．

*なるほど…ややこしいものねぇ ^^;…Orz〜

12367：素数p…2^p+1≡0 mod p...

問題12367(友人問)

pは素数。

このとき、2^p+1がpで割り切れるようなpを求めよ。

解答

・わたしの…

pは2で割り切れないから…奇素数

2^(p-1)≡1

2^p≡2

与式は…

2^p≡-1 なので…

これらを同時に満たす奇素数は3ですね ^^

12366：阿弥陀籤…^^

面白そうなので注文しちゃいましたわ ^^v

問題12366・・・https://books.google.co.jp/books?id=z9xGDAAAQBAJ&pg=PT89&lpg=PT89&dq=算数%E3%80%80トランプ問題&source=bl&ots=yzkvuSjRGJ&sig=muzN6CXX6TLtFsgkMLSCUUJ8ptY&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwjAk5rpzOzRAhWEwrwKHQC6AO44FBDoAQgZMAA#v=onepage&q=算数%E3%80%80トランプ問題&f=false より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

どの横バーも下からみると，どれかから来たものと繋がっているので…

そのバーを横切ることになるので...使われないバーはないですね ^^

↑

これはトートロジーでしたわ ^^;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

使われていない線分はありませんが，
下から考えても上から考えても同じことなので，理由はちょっと怪しいです．

任意の線分について，その線分およびそれより下を消した場合に，
その線分の両側を含め，すべての筋に到達するはずなので，
消した線分を戻せば，それは使われることになります．

*より詳しく教えていただいました 〜m(_ _)m〜v

どのあみだくじも，すべての上端からどこかの下端へ至り，
すべての下端からはじめれば，どこかの上端に到達します．
よって，あみだくじは，すべての下端が到達点となるはずです．

ある線分に着目したとき，その線分およびそれより下にある線分を，
すべて消去したとしても，上のことがらは成立します．
これは，適切な上端からスタートすれば，
着目した線分の両端にも到達できることを意味するのて，
消した線分を元に戻せば，その線分を通ることがあるのがわかります．

*そっか♪

コロンブスの卵 ^^

きちんと当たり前のようなことを言うのってアクロバティックな発想が必要ね☆