アットランダム≒ブリコラージュ

12491：p^2=x^3+y^3…素数p...

問題12491・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^2

x+y=p

x^2-xy+y^2=p

(x+y)^2-3xy=p^2-3xy=p

so…

p^2-p=p(p-1)=3xy

p=3

2=xy

so…

(p,x,y)=(3,1,2),(3,2,1)

^^

x+y=p^2

x^2-xy+y^2=1

がありましたわ…^^;

p^2-1=xy

x+y-1-xy=0

(x-1)(y-1)=0

x=y=1

but…2=p^2 を満たすものはない...

12490：n^4+n^2+1が素数になる自然数...

問題12490・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

さっきと逆バージョンですね ^^

n^4+2n^2+1-n^2

=(n^2+1)^2-n^2

=(n^2+n+1)(n^2-n+1)

so…

n^2-n+1=1 のとき以外は合成数…

n(n-1)=0

so…

n=1 だけね ^^

12489：n^4+4は素数にならない…(n≧2の自然数)...

問題12489・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

気づければ... ^^

n^4+4n^2+4-4n^2

=(n^2+2)^2-4n^2

=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)

n^2-2n+2=1

(n-1)^2=0

つまり、n=1のとき以外は，合成数となる QED

12488：1^n+2^n+3^n+4^n は12の倍数にならない...

問題12488・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

mod 6

1,2,3,4乗の余りを考えてみると...

1-1-1-1

2-4-2-4

3-3-3-3

4-4-4-4

4-0-4-0

so…

n=2m つまり，偶数のときね ^^

(奇数のときは4余る数になるわけねぇ)

(2)

同じく…mod 12

1-1-1-1-1-1-1-1

2-4-8-4-8-4-8-4

3-9-3-9-3-9-3-9

4-4-4-4-4-4-4-4

10-6-4-6-4-6-4-6

と…余りの和は0になることはない ^^

(偶数のときの余りは6になるのね…)

12487：カタラン数…^^;

問題12487(友人問)

一泊500円のホテルがあり、そこに500円玉を持ったn人の人と、1000円札しか持っていないn人の合計2n人の客を泊まらせたい。ホテルの受付は受付開始時は釣り銭を準備していないとする。釣り銭が不足しないような客の来方は全部で何通りあるか。

解答

・わたしの…

これはカタラン数...

500円玉しか持ってない人：Aグループ

1000円札しか持ってない人：Bグループ

f(2(k-1)) 通りにA,Bが増えたとすると…

Aは(2(k-1)+1)=2k-1カ所における…

so…

Bは(2k-1)+(2k-2)+(2k-3)+…+1=2k(2k-1)/2=k(2k-1) 通りおける…

so…

f(2n)=n(2n-1)*f(2(n-1))

        =n*(n-1)*…1*(2n-1)*(2n-3)*…*1*f(2)

f(2)={AB}=1

so…

f(2n)=n!*(2n)!/(2n*(2n-2)*(2n-4)*…*2)

        =(2n)!/2^n

になってしまう…?

カタラン数の一般式は…

(2n)!/(n!(n+1)!)

のはずだから...考え方のどこかがおかしい…^^;

・友人からのもの…

*カタラン数はいつも考え方に発想の転換が求められますわ ^^;☆