アットランダム≒ブリコラージュ

12499：f(n)=n(n-1)/2, i^f(n)=i^f(n+k) なるkは？...

問題12499・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(i+1)^n

(i+1)^n*(i+1)^k

(i+1)^2=2i

(2i)^2=-4

(2i)^4=16

なので…

(((i+1)^2)^2)^2・・・k=2^3=8

なら、iの符合もiも現れないので成り立ちますね ^^

↑

根拠薄弱でしたぁ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1+i)^nを考えている理由がわかりませんでした．

*たしかに...いい加減でしたわ ^^;;...

a[n+k]=a[n]となる条件は，f(n+k)とf(n)の差が4の倍数となること．
(n+k)(n+k-1)/2-n(n-1)/2=k(k+2n-1)/2がつねに4の倍数となればよい．
kが奇数のとき，k+2n-1はnにより，kより大きい任意の偶数となるから，
k(k+2n-1)/2はnにより奇数となることができて不適．
kが偶数のとき，k+2n-1は奇数だから，条件は，k/2が4の倍数であること．
以上より，k=8m (m=1,2,3,…)．

*再考ぅ…

1*i*i^2*i^3*…*i^(n-1)=i^(n(n-1)/2)

1*i*i^2*i^3*…*i^(n-1)*i^n*i^(n+1)*…*i^(n+k-1)=i^((n+k)(n+k-1)/2)

so…

i^(k*n)*i^(k(k-1)/2) が定数になればいい…

so…

k=8・・・8の倍数

ならよかったのね ^^;v

12498：11^(12^13) の10の位の数字は？...

問題12498・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

12^13=(10+2)^13=13C1*10*2^12+2^13

=30*2^12+2^13

=2^12*(30+2)

=32*4*24

=32*96

=(30+2)(90+6)

=80+80+12

=72

(10+1)^72

=72C1*10+1

=721

so…2 かな…?

実際に…

11^(12^13)=

ビンゴ ^^v

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「12^13=」の式の「=」は気になりますが，mod10での「≡」のことでしょうか．
その意味なら，正しいですね．

11^n=(10+1)^n=1+n*10+(10^2の倍数)から，
12^13の一の位を求めればよいことが本質であり，
求める数は，2^13の一の位と同じで，
2^kについては一の位が「2→4→8→6→」の繰り返しとなることから，
求める数は2となります．

*「≡」を打つ時間をエコりましたです…^^; Orz…

思考の方をエコれるようでなきゃいけませんでした ^^;v

12497：2000^n≡a(n)…Σa(k)≡0 mod 7 を満たす最小のn...

問題12497・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

2000/7=288…4

2000^n=4^n

4

4^2=2

4^3=1

4+2+1=7

so…

n=3

ね ^^

他に方法何かないか知らん…?

・鍵コメT様からのそっか!!の解法 Orz〜

2000÷7は，商が285，余りが5です．
5+5^2+5^3+…を7の倍数とすることを考えればよく，等比数列の和から，
5(5^n-1)/(5-1)が7の倍数となる条件を考えて，
5^2≡4,5^3≡6,5^4≡2,5^5≡3,5^6≡1 (すべてmod 7)から，
n=6が結論です．

*よくわかりました ^^☆