アットランダム≒ブリコラージュ

12519：((10^n)!の下の0の個数+1)/10^n の極限値...

上の乗ってるのはコンビニのおいちゃんからもらいましたわ ^^;v

みんなに配ってたけど...お姉さんから渡して欲しかったり…Orz...

問題12519・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

f(n)=m の間違いと考えて…^^

10/5=2

so…f(10)=3

100/5=20

20/5=4

so…f(100)=25

(2)

10^n/5=2*10^(n-1)

so…

f(10^n)=2*10^(n-1)+2^2*10^(n-2)+…

S=2*10^(n-1)+2^2*10^(n-2)+…

(2/10)S=2^2*10^(n-2)+…

(1-1/5)S=2^n-2*10^(n-2)

S=f(10^n)+1=(2^n-2*10^(n-2))*(5/4)+1

so…

lim[n=∞]f(10^n)/10^n=lim((1/5)^n-2/100)*(5/4)=1/40

になるのかぁ ^^

↑

嘘でしたわ ^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「1の位から10^{m-1}位までの数字」はm個であり，
f(10^n)は「(10^n)!の下の0の個数」です．
つまり，表題にある「((10^n)!の下の0の個数+1)/10^n」は，
正しくは「((10^n)!の下の0の個数)/10^n」です． 

(1) f(10)=2,f(100)=24ですね．
(2) f(10^n)は，[(10^n)/5]+[(10^n)/5^2]+…であり，
この項数はlog[5](10^n)=n*log[5]10以下なので，
ガウス記号により切り捨てられて減る値は高々n*log[5]10であり，
1/10^n倍したものは，nが大きくなると0に近づくので無視できます．
項数をmとして，
(10^n)(1/5+1/5^2+…+1/5^(m-1))=(10^n)(1/5)(1-(1/5)^m)/(1-1/5)
=(10^n)(1/4)(1-(1/5)^m)であり，
1/10^n倍は(1/4)(1-(1/5)^m)となって，n→∞のときm→∞だから，
求める極限は1/4です．

10^nまでに，5の倍数は(10^n)/5個あり，f(10^n)/10^n≧1/5は明らかで，
極限が1/5より小さいはずはありませんね．

*今日の囲碁大会充は…3-1 で8段の方と並んだんだけど…

(8段の方に完敗…^^;)...ゴルフと同じで長幼の序に鑑み準優勝…^^;v

リベンジしたいけど…道険し…^^;;

12518：証明…pが奇素数のとき…2^(p-1)-1≡0 mod p(フェルマーの小定理)...

夏雲フライング ^^

問題12518・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

p=2のとき…0

pが奇素数のとき…

2^(p-1)≡1

so…

2^p≡2　mod p

*赤字で訂正…^^; Orz…

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

(2)

pは奇素数とする...でないと...題意は成り立たない...

(1+1)^p=pC0+pC1+…+pC(p-1)+pCp=p*□+2

p!/(k!(p-k)!) =整数 の分母はpとはいずれも互いに素であるから、分子にはpが残る=pの倍数 ^^

so…

2^p-2=p*□

2とpは互いに素…

2(2^(p-1)-1)=p*□

so…

2^(p-1)-1はpで割れる…QED

12517：n^5-n≡0 mod 30...

どうも子どもには受けがいいようで ^^☆

グラッチェ〜♪

問題12517・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

n(n-1)(n+1)(n^2+1)

n=5m±2 のとき…

(5m±2)^2+1=(25m^2±10m+5)=5の倍数…

n(n-1)(n+1)は6の倍数

so…

30の倍数 ^^

＊上記サイトより Orz〜

n^4≡1　mod 5・・・フェルマーの小定理

so…

n^5≡n

n^5-n≡0・・・5の倍数

を使えば秒殺なのでした…☆

・鍵コメY様からのエレガントなる解法 Orz〜☆

n(n−1)(n＋1)(n²＋1)＝n(n−1)(n＋1)(n²−4＋5)
＝(n−2)(n−1)n(n＋1)(n＋2)＋5(n−1)n(n＋1)
と式変形すると簡単ですね。

大学の入試問題に
フェルマーの小定理を証明なしに使っていいのかどうか、
私には分かりません。

*お気に入り♪

12516：P>q>r, x^3+px^2+qx+r=0 の解が連続する整数 n-1,n,n+1のとき、n,p,q,rは？...

紅梅の香り芳し🌸

問題12516・・・http://inupri.web.fc2.com/seisuu/kaisi.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(n-1)+n+(n+1)=3n=-p

n(n^2-1)=n^2-n=-r

(n-1)n+n(n+1)+(n-1)(n+1)=3n^2-1=q

3n>3n^2-1>n-n^2

4n^2-n-1>0・・・1<=n

3n^2-3n-1<0・・・n<=1

so…n=1

p=3,q=2,r=0

ね ^^

12515：2017以外で4桁の各位の数字の和が10になる個数...

問題12515・・・浮浪さんのサイト「浮浪の館」 http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^