アットランダム≒ブリコラージュ

12387：2^(2n)+3^(2n) が13で割り切れる自然数n...

問題12387・・・http://wasmath.la.coocan.jp/seisuu064.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

2^2+3^2=13

2^12≡1, 2^2=4 ,2^4=3, 2^6=-1, 2^8=-4, 2^10=-3

3^12≡1, 3^2=-4 3^4=3, 3^6=-1, 3^8=-4, 3^10=3

so…

n=1,5

2^2*(2^12)^m+3^2*(3^12)^m

=2^(12m+2)+3^(12m+2)

=2^(2(6m+1))+3^(2(6m+1))

でもいいので…

n=6m+1

けっきょく…

n=1,5,6m+1 (mは自然数)

ですね ^^

↑

誤ってましたぁ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

2^(2n)+3^(2n)=4^n+9^n.
これをa[n]とおいて，
a[n+2]=16・4^n+81・9^n=16a[n]+65・9^n=16a[n]+13・5・9^n
より，a[n]が13の倍数ならa[n+2]も13の倍数であり，
a[n]が13の倍数でないならa[n+2]も13の倍数でない．
a[1]=13は13の倍数であり，a[2]=97は13の倍数でないから，
a[n]が13の倍数となる自然数nは，「奇数」である．

*なるほどぉ... ^^;☆

12386：φ(n)=6…n=?

問題12386・・・http://wasmath.la.coocan.jp/seisuu061.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

1〜p^mまでに p^m と互いに素でないものはpの倍数だけだから…

φ(p^m)=p^m-p^(m-1)

(2)

当たり前すぎて上手く言えない…^^;

a,b は互いに素なので，abと互いな素なものは，aと素なものとbと素なものの積はabと互いに素になる...

so…φ(ab)=φ(a)φ(b)

トートロジー?な気が…^^;

(3)

φ(n)=6

6=7-1・・・n=7

6=2*3・・・φ(3)を満たすものはない

一般に奇素数pのときはφ(p)=p-1は偶数

so...奇素数同士のときも偶数

例外は…φ(2)=1

so…

6=1*6=φ(2)φ(7)=φ(14)

ね ^^

↑

(2),(3)は…わたしのおかしかったある…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2) a,bの一方が1であるときは明らか．
以下，a,bは1より大きい自然数で互いに素であるとする．
aで割った余りとbで割った余りのペアは，abで割った余りと一対一対応する．
自然数nがabと互いに素になる条件は，「nがaともbとも互いに素であること」，
「nをaで割った余りがaと互いに素で，nをbで割った余りがbと互いに素」
であって，ab未満の自然数nについては，nをabで割った余りはn自身であるから，
abと互いに素になる個数は，
組(aより小さくaと互いに素な自然数,bより小さくbと互いに素な自然数)
の個数と一致する．
よって，φ(ab)=φ(a)φ(b).

(3) 素数pに対して，φ(p^m)=(p-1)p^(m-1)だから，p>7のときはφ(p^m)>6.
よって，φ(n)=6となる自然数nは，7より大きい素因数をもたない．また，
φ(2^m)=2^(m-1),φ(3^m)=2*3^(m-1),φ(5^m)=4*5^(m-1),φ(7^m)=6*7^(m-1).
これらの形の組合せでφ(n)=6を作ればよく，
n=7,14,9,18. 

*(2)の証明…熟読玩味ぃ〜^^;…

難しいものなのね…Orz〜

12385：クイズ…^^

画像：http://twisave.com/vlxad/favorites/2015/6/20/p:2 より 引用 Orz〜

「アントニオ・カノーヴァ（1757〜1822）による「アモルの接吻で蘇るプシュケ」。

イタリアの彫刻家。優雅で官能的な作品です。ルーヴル美術館にて見ることができます。」

問題12385・・・https://kaumo.jp/topic/74312 より 引用 Orz〜

解答

デジャヴー ^^

113 ね ^^

(7-6)(7+6)

12384：パズル…^^;

問題12384・・・https://kaumo.jp/topic/74312 より 引用 Orz〜

解答

これも気づけず…^^;

12383：クイズ…すます=？

なかなかのおませちゃんね ^^

問題12383・・・https://kaumo.jp/topic/74312 より 引用 Orz〜

解答

気づけなかったわ ^^;