アットランダム≒ブリコラージュ

12675：一日に長針と短針が90°になる回数…クイズ ^^

問題12675・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66233083.html より 引用 Orz〜

一日のうち、時計の長針と短針のつくる角が
直角になるのは、全部で■回あります。

(2016年．慶応中等部)

解答

・わたしの…

重なる回数が22回だから...その前後に1回ずつあるので44回のはずね ^^

↑

ミス(1日=24時間でした…^^;)ってしまいました ^^;;...

赤字で訂正 Orz〜

(鍵コメT様＆鍵コメY様ご指摘グラッチェ〜m(_ _);m〜)

12674：1000までで，2,3,5で割り切れない数で一の位が7である数の個数...

問題12674・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66233747.html より 引用 Orz〜

1000以下の整数のうち、
２でも３でも５でも割り切れない整数を
小さい方から順番に並べると、
１，７，11，13，17，・・・，997
となります。

このなかで、一の位が７である整数は
全部で■個あります。

(2016年．灘中)

解答

・わたしの…

7・・・1個

a7・・・9個のうち、a=2,5,8 以外…6個

ab7・・・9*10=90個のうち…

2*9+7=25

so…

24-7=17=9+8・・・2

21-7=14=9+5=8+6=7+7・・・2*2+1=5

18-7=11=9+2=8+3=7+4=6+5・・・2*4=8

15-7=8=8+0=7+1=6+2=5+3=4+4・・・2*3+1=7

12-7=5=5+0=4+1=3+2・・・2*2+1=5

9-7=2=2+0=1+1・・・2*1=2

so…2+5+8+7+5+2=29

けっきょく…

1+6+29=36個

ね ^^

もっと上手い方法ってありますかねぇ ^^;

↑

無茶苦茶でした ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

一の位が7なら，当然2でも5でも割り切れないので，
「7,17,27,37,…,997のうちで3で割り切れないもの」
を数えればよいです．
この100個のうち連続する3つの中には3で割り切れないものがちょうど2つあり，
末尾の997も3で割り切れないから，
求める個数は33*2+1=67(個). 

*スマートね♪

314=PIE

画像：http://toptwitter.com/ja/パイの日 より 引用 Orz〜

デジャヴー…?

πはpiらしい…pieは食べ物のパイ…

3.14はアインシュタインの誕生日でもありましたのねぇ ^^

and...ほしのあきちゃんもそうだったのね☆

https://ja.wikipedia.org/wiki/アルベルト・アインシュタイン より Orz〜

「アルベルト・アインシュタイン（独: Albert Einstein、1879年3月14日 - 1955年4月18日）は、ドイツ生まれの理論物理学者である。・・・1905年の26歳の時に3つの重要な論文を発表する。1905年に博士号を取得すべく「特殊相対性理論」に関連する論文を書き上げ、大学に提出した。しかし内容が大学側に受け入れられなかったため、急遽代わりに「分子の大きさの新しい決定法」という論文を提出し、受理されている。この論文は「ブラウン運動の理論」に発展した。この年は「奇跡の年」として知られている。アインシュタインは「光量子仮説」「ブラウン運動の理論」「特殊相対性理論」に関連する五つの重要な論文を立て続けに発表した。バスの乗車中にベルンの時計台の針が不動に見えることから着想した無名の特許局員が提唱した「特殊相対性理論」は当初、周囲の理解を得られなかったが、マックス・プランクの支持を得たことにより、次第に物理学界に受け入れられるようになった。

1906年、2級技術専門職へ昇進。年俸も4,500スイス・フランへと昇給された。

1907年、有名な式E=mc²を発表している。この年には、箱の中の観測者は、自らにかかる力が慣性力なのか重力なのか区別ができないという、後の一般相対論の基礎となるアイディア（等価原理）を考案する。アインシュタインはこれを、生涯最良の名案であると述べている。」

ニュートンにも奇跡の年ってのがありましたよね ^^

想像力ってのは間欠泉のように噴出してくるようですねぇ☆

12673：証明...円内の弦で最長なものは直径である…クイズ ^^

問題12673・・・http://www.aspenmesa.com/blog/15489 より 引用 Orz〜

図のような円に3本の弦があったとき，一番長いのはどれか？

*文章の一部を赤字で訂正 ^^

(鍵コメY様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

解答

・わたしの…

12672：πの日の問題...すべての実数で共通に含まれる図形の面積...

画像：https://ja.wikipedia.org/wiki/円周率の日 より Orz〜

問題12672・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37600607.html#37600607 より Orz〜

　すべての実数 k について、xy平面上の次の領域に共通に含まれる図形の面積は？

　x²＋y²−(4k²−8k＋4)x＋(3k²−6k−11)y＋(4k²−8k＋3)≦0

解答

上記サイト http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37614099.html より Orz〜

[解答1]

　(−4x＋3y＋4)k²＋(8x−6y−8)k＋(x²＋y²−4x−11y＋3)≦0 、

　(4x−3y−4)k²−2(4x−3y−4)k−(x²＋y²−4x−11y＋3)≧0 が、

　すべての実数 k について成り立つのは、次のいずれかの場合です。

　(1) 4x−3y−4＝0 かつ −(x²＋y²−4x−11y＋3)≧0 のとき

　(2) 4x−3y−4＞0 かつ (4x−3y−4)²＋(4x−3y−4)(x²＋y²−4x−11y＋3)≦0 のとき

　(1)のとき、x＝3y/4＋1 を x²＋y²−4x−11y＋3≦0 に代入して、

　 (3y/4＋1)²＋y²−4(3y/4＋1)−11y＋3≦0 、9y²/16＋3y/2＋1＋y²−3y−4−11y＋3≦0 、

　 25y²/16−25y/2≦0 、25y(y−8)≦0 、0≦y≦8 、x＝3y/4＋1 だから、

　 y＝0 のとき x＝1 ，y＝8 のとき x＝7 になって、(1，0)，(7，8)を結ぶ線分です。

　(2)のとき、(4x−3y−4)²＋(4x−3y−4)(x²＋y²−4x−11y＋3)≦0 で、

　 4x−3y−4＞0 だから、 (4x−3y−4)＋(x²＋y²−4x−11y＋3)≦0 、

　 x²＋y²−14y−1≦0 、x²＋(y−7)²≦50 、

　 また、4x−3y−4＝0 ，(4x−3y−4)＋(x²＋y²−4x−11y＋3)＝0 の交点は (1，0)，(7，8) 、

　 よって、中心が(0，7)，半径が 5√2 の円の周囲を含む内側で (1)の線分の下側です。

　図のように、面積は π(5√2)²/4-(5√2)²/2＝25π/2-25 です。


[解答2]

　x²＋y²−(4k²−8k＋4)x＋(3k²−6k−11)y＋(4k²−8k＋3)≦0 で、

　2K＝k²−2k＋1 とおけば、K≧0 で、

　x²＋y²−8Kx＋(6K−14)y＋(8K−1)≦0 、x²＋y²−14y−1−2K(4x−3y−4)≦0 、

　ここで、円 x²＋y²−14y−1−2K(4x−3y−4)＝0 は、

　x²＋y²−14y−1＝0 ，4x−3y−4＝0 の交点を必ず通ります。

　x＝3y/4＋1 を x²＋y²−4x−11y＋3＝0 に代入して、

　(3y/4＋1)²＋y²−4(3y/4＋1)−11y＋3＝0 、9y²/16＋3y/2＋1＋y²−3y−4−11y＋3＝0 、

　25y²/16−25y/2＝0 、25y(y−8)≦0 、y＝0，8 、x＝3y/4＋1 より 交点は (1，0)，(7，8)です。

　また、(x−4K)²＋(y＋3K−7)²≦25K²−50K＋50 だから、

　中心が(4K，−3K＋7)で、(1，0)，(7，8)を通る円の周囲および内部です。

　(1，0)，(7，8)を通る直線は y＝4x/3−4/3 であり、

　K≧0 ですので、中心は y＝−3x/4 (x≧0) の部分にあります。

　(1，0)，(7，8)を端点とする弧は、y≦4x/3−4/3 の部分では Kが増えるほど大きくなり、

　y≧4x/3−4/3 の部分では Kが増えるほど(1，0)，(7，8)を端点とする線分に近づくので、

　条件に合う図形は、中心が(0，7)，半径が 5√2 の円の周囲を含む内側を

　(1，0)，(7，8)を結ぶ弦で分けるときの中心を含まない方です。

　図のように、面積は π(5√2)²/4-(5√2)²/2＝25π/2-25 です。

*けっきょくよくわからず ^^;

・友人からのもの…

4k2−8k＋4=pとおくと、kがすべての実数をとるときpは0以上のすべての実数を動く
与式はx2＋y2−px＋(3p-56)/4*y＋(p-1)≦0
(1-x+3/4y)p+(x^2+y^2-14y-1)<=0
これが0以上のすべてのpで成り立つためには、
1-x+3/4y<=0 かつx^2+y^2-14y-1<=0
半径√50の円を直線が横切る形で
この円の1/4円から直角2等辺三角形を引いた残りとなり、
S=50π*1/4-25=12.5π-25

*了解でけた♪