アットランダム≒ブリコラージュ

12598：求長…正方形内の1/4円...

ダリ

何かを隠喩してるんだろうか知らん…^^;

問題12598・・・http://plaza.rakuten.co.jp/topclassmeruma/diary/200812060002/#200812091357045001 より 引用 Orz〜

一辺が１０cmの正方形がある。辺ＢＣの中点をＭとする。
Ｂを中心とする半径ＢＣの円弧ＡＣと線分ＭＤとの交点をＱとしたとき、
線分ＱＤの長さを求めなさい。

解答

この前解いた気がする ^^;

・わたしの…

方ベキの出番ですよね ^^

12597：2015Cmが偶数になる最小のmは？...

ダリ

余り好きなの思い出せないあるね…^^;

問題12597・・・http://makaokun.blog.fc2.com/blog-entry-242.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

2015!/(m!(2015-m)!)

2015*2014*2013*2012/4!

so…

m!の素因数2の個数<2015!/(2015-m)! の2の個数の方が多ければ偶数…

2^10=1024

2014-2

2012-4

2010-6

2008-8

2006-10

2004-12

2002-14

2000-16

so…

2016を２個の偶数に分けて、その個数が異なるようにすればいい…

2^k(2*p+q)=2016

2016/2=1008

1008/2=504

504/2=252

252/2=126

126/2=63

so…

2016=2^5*63

63=2*31+1

so…

m=2^5　・・・のときだと思う ^^;…?

実際に計算させてみる…

2015!/(30!*(2015-30)!)=

2015!/(31!*(2015-31)!)=

2015!/(32!*(2015-32)!)=

大丈夫そうね ^^v

ちなみに…

2017のとき…

2016-2…

2018/2=1009

so…

2*(2*504+1)=2018

so…Min m=2

と面白くもない問題になってしまいますようで…^^;…

・鍵コメT様からの詳しい解説を頂戴しました Orz〜♪

aを自然数の定数として，aCmが偶数となる最小のmは，
「aの2進法で表示で0が登場する最下位は何の位か」で決まります．

a=2015に対しては，次のようになります．

一般に，n!が2で割り切れる回数は，ガウス記号[x]を用いて，
[n/2]+[n/2^2]+[n/2^3]+…
と表され，これは，nを2進法で表記したとき，
1桁ずつ小数点をずらして，整数部分を足したものである．
(例) 
30=11110[2]に対して，
1111[2],111.1[2],11.11[2],1.111[2]の整数部分の合計は
1111[2]+111[2]+11[2]+1[2]=15+7+3+1=26だから，
30!は2で26回割り切れる．

ここで，nの2進法表記で，例えば2^3の位に数字1があったとすると， 
この1は，小数点の右側に移って切り捨てられるまでに
n/2について100[2]，n/2^2について10[2]，n/2^3について1[2]
だけ足され，合計に111[2]だけ寄与する．
一般に，2^kの位に数字1があったとすると，この1は合計に
1(2^{k-1}+2^{k-2}+…+1)=2^k-1
だけ寄与することになる．

これより，n!が2で割り切れる回数は，(n-(nの2進表記の数字の合計)). 

2015Cm=2015!/(m!(2015-m)!)であり，
これが2で割り切れない条件は，
(2015-(2015の2進表記の数字の合計))
=(m-(mの2進表記の数字の合計))+((2015-m)-((2015-m)の2進表記の数字の合計))，
すなわち
(2015の2進表記の数字の合計)
=(mの2進表記の数字の合計)+((2015-m)の2進表記の数字の合計)
となり，これはm+(2015-m)の計算を2進数で行うとき，繰り上がりが生じない場合，
すなわち，「2015の2進表記で0である桁は，mの2進表記でも0である場合」である．
2015=11111011111[2]であるから，2015Cmが偶数となるのは，
nの2進表示で，2^5の桁が1であるときであり，
その最小数は，2^5=32. 

これで，[問題12599]も同時に解けたことになります．
つまり，nCmがすべて奇数になるのは，nの2進表示が数字0を含まないとき，
すなわち，nが(2のべき乗)-1の形で表されるときですね．

*おぼろげに ^^; 了解☆

[問題12599]わたしの解答は…n=2^k+1 になってしまいましたが…再考してみまっす ^^;…Orz〜

12596：面積比…正方形内の△と□...

マティスの「ミモザ」再掲 ^^☆

問題12596・・・http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13102622613

より 引用 Orz〜

正方形ABCDがあり、AD、CDを３等分する点を図のようにE、F、G、Hとする。EGとBFの交点をIとしたとき、△IFEと四角形IBCGの面性比を求めよ。

解答

・わたしの…

＊上記サイトより Orz〜

「afwergfrewさんのもの Orz〜

EF=１とおく。IGを延長しBCの延長との交点をJとおく。ED：CJ=2:1よりCJ＝１。

よって三角形EIF:三角形IBJの面積比は1:16.
ここでEG:GJ=２：１、EI:IJ＝１：４であることからIG:GJ=７：５と分かる。
ウッキーの定理(知らないなら調べてみてください)より

三角形IBJ:三角形GCJ＝１２×４：５×１＝４８：５。
よって四角形IBCG：三角形IBJ=４３：４８となり、四角形IBCG=１６×４３/48=43/3
よって三角形EIF：四角形IBCG＝１：43/3＝３：４３　」

*ウッキーの定理…?

画像：https://mobile.twitter.com/GoV1615/status/820364772193411072 より 引用 Orz〜

「【ウッキーの定理】 △ABCで、辺AB,ACを AD=(a/b)AB,AE=(c/d)AC と内分する点D,Eを取れば、△ABCと△ADEの面積比はbd:acとなる。 福岡県の中学校数学教師、右京正紀(うきょうまさのり)が始めて教授したとされる。相似でない三角形同士でも使える。」

*ふつうに使ってるけど…氏素性があったのね ^^☆

12595：求長...円錐の展開図…^^;

問題12595・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle5/angle5.htm より 引用 Orz〜

図は、底面の円の半径３、母線の長さ１０の直円錐の展開図である。

このとき、線分ＡＢの長さを求めよ。

解答

・わたしの…

sin18°の値を使って計算しまくり千恵子…^^;

6π=20π*(θ/360)

3/10=θ/360

θ=108°

cos108=-cos72°=-sin18°

sin(18°)=(-1+√5)/4

AB^2=2*10^2*(1+sin18°)

          =200*(3+√5)/4

AB=5√(6+2√5)

      =5(1＋√5)

＊上記サイトより Orz〜

「正５角形の一辺の長さを２とすると、

　ＡＦ＝ＦＤ＝ＣＤ＝２　である。

　そこで、ＦＣをＸとすると、比例式
　２＋Ｘ　：　２　＝　２　：　Ｘ　が成り立つ。
　これを解くと、Ｘ＝http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle5/root5.gif−１となる。

　従って、ＡＣ＝http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle5/root5.gif＋１　であることが分かる。

これより…

中心角∠ＡＯＢの大きさは、３６０°×６π/２０π＝１０８°なので、求める長さＡＢは１辺の長さが１０の正５角形の対角線の長さである。

１辺の長さが２の正５角形の対角線の長さは、

１＋http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle5/root5.gifなので、　ＡＢ＝５＋５http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle5/root5.gif　となる。」

*瞬殺なのねぇ ^^;☆

12594：sin18°

問題12594・・・http://www.hmg-gen.com/a-mondai37.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

5*18=90

18=x

sin(3x)=cos(2x)=cos^2x-sin^2x=1-2sin^2x

sin(3x)=sinx*cos(2x)+cosx*sin(2x)

         =sinx(1-2sin^2x)+2cosx^2*sinx

         =sinx(1-2sin^2x+2(1-sin^2x))

        =sinx(3-4sin^2x)

sinx=t

t(3-4t^2)=1-2t^2

4t^3-2t^2-3t+1=0

(t-1)(4t^2+2t-1)=0

4t^2+2t-1=4(t+1/4)^2-1-1/4=0

t+1/4=√5/4

t=(√5-1)/4

と求められるのね ^^

ちなみに...

cos18°=√(1-((√5-1)/4)^2)=

と…2重根号になっちゃうようです…^^;

＊調べたら…^^

「　よおすけ 氏様のもの Orz〜

まず、ｚについての方程式をつくるため、　ｚ＝ｃｏｓ１８°＋ｉ・ｓｉｎ１８°と置く。

ただし、ｉ は虚数単位とする。

両辺を５乗して、　

ｚ⁵＝（ｃｏｓ１８°＋ｉ・ｓｉｎ１８°）⁵＝ｃｏｓ９０°＋ｉ・ｓｉｎ９０°＝ ｉ

このとき、　ｚ⁵＝ ｉ＝ ｉ⁵　と考えて、　（ｚ−ｉ）（ｚ⁴＋ｉ・ｚ³−ｚ²−ｉ・ｚ＋１）＝０

ここで、明らかに、　ｚ−ｉ≠０　なので、　ｚ⁴＋ｉ・ｚ³−ｚ²−ｉ・ｚ＋１＝０

また、ｚ≠0　なので、両辺を　ｚ²　で割ると、

　　　　　　　ｚ²＋ｉ・ｚ−１−ｉ・（１/ｚ）＋１/ｚ²＝０

すなわち、　（ｚ−１/ｚ）²＋ｉ・（ｚ−１/ｚ）＋１＝０

これより、　（ｚ−１/ｚ＋ｉ/２）²＝−５/４　なので、　ｚ−１/ｚ＋ｉ/２＝±ｉhttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/root5.gif/２

よって、　　ｚ−１/ｚ＝（−１±http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/root5.gif）ｉ/２　　となる。

ここで、　１/ｚ＝ｚ^-1＝ｃｏｓ１８°−ｉ・ｓｉｎ１８°なので、　ｚ−１/ｚ＝２ｉ・ｓｉｎ１８°

よって、　ｓｉｎ１８°＝（−１±http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/root5.gif）/４　　となる。

ここで、１８°は鋭角なので、　ｓｉｎ１８°＞０　より、　ｓｉｎ１８°＝（−１＋http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/root5.gif）/４

　（ｓｉｎ１８°の解法ではネットではほとんどみかけないものを書きました。）

*面白いです♪

＊らすかる様のもの Orz〜

頂角Ａ＝３６°、底角Ｂ、Ｃ＝７２°の二等辺三角形で

∠Ｂの二等分線とＡＣの交点をＤとし、

ＡＢ＝ＡＣ＝１、ＡＤ＝ＢＤ＝ＢＣ＝２ｘ（＞０）とすると、

ＡＣ ： ＢＣ ＝ ＢＣ ： ＣＤ　から、　１ ： ２ｘ ＝ ２ｘ ： １−２ｘ

より、　４ｘ²＋２ｘ−１＝０

これを解いて、　ｓｉｎ１８°＝ｘ＝（−１＋http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/root5.gif）/４　」

*これまたエレガント♪

黄金比=(1＋√5)/2 に似てる...けど名前がないのねぇ ^^;

*やどかりさんのブログで網羅的に解説されています☆

参照下さいまっせ〜m(_ _)m〜v

↓

http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/27490026.html