アットランダム≒ブリコラージュ

12805：△の高さ…^^;

問題12805・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66186256.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

a^2+h^2=13^2

b^2+h^2=14^2

b^2-a^2=(b+a)(b-a)=(14+13)(14-13)=27

b-a=27/15=9/5

b+a=15

b=(9/5+15)/2=42/5

so…

AH=h=√(14^2-(42/5)^2)=3136/25=56/5=11.2 cm

*算数じゃわからない…^^;…?

・鍵コメY様からのアクロバティックな解法 Orz〜☆

算数では解けないと思います。
ただ、3：4：5 と 5：12：13 が直角三角形になることを知っていれば、
14 の辺を底辺とすると高さは 12 になって、
15･AH/2＝14･12/2 、AH＝14･12/15＝56/5 です。

*よく思いつけますものねぇ ^^♪

12804：求長...円内の五角形…パズル ^^

問題12804・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように、1つの円の周上に5つの点A、B、C、D、Eがあります。

三角形BDEは1辺の長さが7cmの正三角形です。

また、辺ABとCDの長さはそれぞれ5cmで、

辺BCとAEの長さはそれぞれ3cmです。 

このとき、辺ADの長 さは何cmですか。

（２０１７年　渋谷教育学園幕張中学）

解答

・わたしの…

12803：1/200より大きい分数の個数…クイズ ^^

コーラの季節がやって来ましたぁ ^^

問題12803・・・http://tokeruka.net/test/?p=510 より 引用 Orz〜

上のように、ある規則に従って分数が並んでいます。

このとき、１/２００ より大きい分数は何個ありますか。

（横須賀学院中学　2010年）

解答

・わたしの…

分子が1のとき...1/(2n-1)=1/199まで…100個

分子が2のとき...2/(2n+1)=2/399まで…199個

so…

299個　ね ^^

↑

ミスってました…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

分子が1のものの分母は4で割って1余り，200より小さいものは50個だけです．
分子が2のものの分母は4で割って3余り，400より小さいものは100個だけです．
この合計だから，結論は150個ですね．

*2n-1=2(n-1)+1 と重複するのでした…^^;;...

12802：三角比の計算...

問題12802・・・やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37631915.html#37631915 より Orz〜

　cos36ﾟcos72ﾟ(sin²30ﾟtan70ﾟ−sin²10ﾟtan70ﾟ−sin10ﾟcos10ﾟ)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37644479.html より 引用 Orz〜

[解答1]

　P＝cos36ﾟcos72ﾟ とおけば、

　4Psin36ﾟ＝4sin36ﾟcos36ﾟcos72ﾟ＝2sin72ﾟcos72ﾟ＝sin144ﾟ＝sin36ﾟ 、

　P＝1/4 です。

　Q＝sin²30ﾟtan70ﾟ−sin²10ﾟtan70ﾟ−sin10ﾟcos10ﾟ とおけば、

　2sin70ﾟ＝2sin(60ﾟ＋10ﾟ)＝2sin60ﾟcos10ﾟ＋2cos60ﾟsin10ﾟ＝(√3)cos10ﾟ＋sin10ﾟ ，

　2cos70ﾟ＝2cos(60ﾟ＋10ﾟ)＝2cos60ﾟcos10ﾟ−2sin60ﾟsin10ﾟ＝cos10ﾟ−(√3)sin10ﾟ だから、

　8Qcos70ﾟ＝8sin²30ﾟsin70ﾟ−8sin²10ﾟsin70ﾟ−8sin10ﾟcos10ﾟcos70ﾟ

　 ＝2sin70ﾟ−8sin10ﾟ(sin10ﾟsin70ﾟ＋cos10ﾟcos70ﾟ)

　 ＝2sin70ﾟ−8sin10ﾟcos(70ﾟ−10ﾟ)＝(√3)cos10ﾟ＋sin10ﾟ−4sin10ﾟ＝(√3)cos10ﾟ−3sin10ﾟ

　 ＝(√3)｛cos10ﾟ−(√3)sin10ﾟ｝＝(2√3)cos70ﾟ 、

　Q＝(√3)/4 です。

　よって、与式＝PQ＝(√3)/16 です。


[解答2]

　左図のように、等辺が 1，頂角が 36ﾟ の二等辺三角形の底辺を x とし、底角の二等分線を描けば、

　1：x＝x：(1−x) だから、x²＝1−x 、x(x＋1)＝1 で、

　cos36ﾟ＝x＋(1−x)/2＝(x＋1)/2 ，cos72ﾟ＝x/2 だから、cos36ﾟcos72ﾟ＝x(x＋1)/4＝1/4 です。

　右図のように、∠B＝20ﾟ，∠C＝90ﾟ の直角三角形で、∠CAD＝60ﾟ になるように、

　辺BC上に点Dをとり、DからACに垂線DEを描き、AD＝1 とすれば、

　sin²30ﾟtan70ﾟ−sin²10ﾟtan70ﾟ−sin10ﾟcos10ﾟ＝AC･ACtan70ﾟ−DE･DEtan70ﾟ−DE･AE

　 ＝AC･BC−DE･BE−DE･AE＝2(△ABC−△BDE−△ADE)＝2△ADC＝(√3)/4 です。

　よって、cos36ﾟcos72ﾟ(sin²30ﾟtan70ﾟ−sin²10ﾟtan70ﾟ−sin10ﾟcos10ﾟ)＝(√3)/16 です。

*わたしにゃ無理ですばい…^^;

sin60°=sin(3*20°) のチェビシェフの多項式を見つけてなんとかなりましたぁ ^^;v

cos36°*cos72°の方は…1辺1の正五角形でトレミーの定理を使って…
x+1=x^2…x=(1＋√5)/2
so…cos36°=(1+√5)/4=x/2
cos72°=2(x/2)^2-1=(x^2-2)/2=(x-1)/2=(√5-1)/4
so…cos36°*cos72°=1/4

後半…
(cos20°/sin20°)(4*sin20°*cos10°*cos20°*sin10°)-(1/2)sin20°
=2sin20°*(cos20°)^2-(1/2)*sin20°
=(1/2)*sin20°*(4(cos20°)^2-1)
=(1/2)*sin60°・・・チェビシェフの多項式調べた ^^;v
so…
与式=(1/4)(1/2)(√3/2)=√3/16

*チェビシェフの多項式…http://mathtrain.jp/tn 参照

12801：一筆書き…前問のプレリュード問…^^

問題12801・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66186350.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

ここまでは今日考えてた ^^

外回りからと、内回りからで分けて...

so…24通りね ^^

↑

抜けてましたわ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

外円周の上半分をa，下半分をb，内円周の上半分をc，下半分をd，
中心線の中央部をeとします．
c,d,eを通る直前や直後は，c,d,eを通る場合以外は，
中央線の黄色部分を通ることになり，それは2箇所しかないので，
c,d,eは連続して通過する必要があります．
これを満たしてa,b,c,d,eの通過順序を決めれば，経路が確定します．
c,d,eを一体のもの「cde」と見ると，その内容(c,d,eの並べ方)が3!通りあり，
それぞれに対して，a,b,「cde」の並べ方が3!通りあるので，
場合の数は3!*3!=36(通り)だと思います．

*追記…Orz〜

Bから書き起こすものも同数あって，結論は36*2=72(通り)

スモークマンさんの解は，
ab「cde」,ba「cde」，a「cde」b，b「cde」a，「cde」ab，「cde」ba
に分けているようです．このとき，「cde」の中身は
ced,ecd,dce,decだけしか考慮していないのではないでしょうか．
cdeやedcも可能であり，4*6+6*2が正しいと思います．

so…こちらも…72通り…^^;v

*その通りでした…^^;;♪

これで、前問を考えてみたいと思います ^^v