アットランダム≒ブリコラージュ

12818：4桁の数abcd x 9=dcba…クイズ ^^

問題12818・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66179093.html より 引用 Orz〜

ある４けたの数を９倍すると、もとの数の千の位と一の位、百の位と十の位の数がそれぞれ入れかわった４けたの数になりました。
もとの４けたの数を求めなさい。

(2015年．清風南海中Ｂ入試２番(3))

解答

・わたしの…

1ab9

9ba1

a=1 or 0・・・このとき、b=7 or 8

11b9

1b11

…9b+8=1 を満たすものはない…

so…=0

1089

9801

で、成り立ってますね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

数字の和が同じだから，元の数と9倍は9で割った余りが等しく，
すると，元の数も9の倍数．
元の数について，千の位は1，一の位は9に限るので，
百の位と十の位の和は8または17．
さらに，値は1111以下だから，1089が唯一の候補であり，
これは 1089*9=9801 より適する．

*スマートね☆

12817：3^100≡? mod 19...

問題12817・・・http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/100th-power-of-three-modulo-19 より引用 Orz〜

解答

・わたしの…

3^18≡1　mod19・・・フェルマーの小定理より

so…

100/18=5…10

3^100≡3^10

3^4=81=100-19

so…

3^10=(3^4)^2*3^2=100^2*3^2

100=19*5+5

so…

3^10=(5*3)^2=(-4)^2=-3=16

*上記サイトの…「平方剰余の相互法則を使う」解法がわかるようになりたいものです ^^;☆

12816：連続する4個の自然数…5,7,9,11の倍数となる最小の組は?...

問題12816・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66179896.html より 引用 Orz〜

連続する４つの自然数があり、一番小さい数は５の倍数、次が７の倍数、

その次は９の倍数、そして最後の数は11の倍数です。
こういう４つの整数の組で、一番小さい４つの数は？

(う山先生からの挑戦状)

解答

・わたしの…

5a+1=7b

a=7s-3

5(7s-3)+2=9t

35s-13=9t

(36-1)s-13=9t

-s-13=9t

s=9k-4

5(9k-4)+3=11w

45k-17=11w

(44+1)k-17=11w

k-6=11w

k=11w-5

s=9(11w-5)-4=9*11w-49

a=7(9*11w-49)-3=7*9*11w-7*49-3

so…

a=7*9*11-7*49-3=347

5a=1735

(1735+1)/7=248

(1735+2)/9=193

(1735+3)/11=158

*ややこしや...^^;;

もっとスマートな方法ってあるに違いない…?

*別解...中国剰余定理を使ってみた ^^;v

m≡0　mod 5

m≡-1  mod 7

m≡-2  mod 9

m≡-3  mod 11

a*9*11+7*b*11+7*9*c

a*9*11≡-1　mod 7

a*2*4=a≡-1…a=6

7*b*11≡-2　mod 9

-2*b*2=-2

2b≡1…b=5

7*9*c≡-3　mod 11

-4*-2*c=-3*c≡-3

c≡1…c=1

so…

6*9*11+5*7*11+1*7*9=1042

7*9*11=693

so…

1042+693=1735

*出たぁ〜^^☆

・鍵コメT様からのやんなっちゃうスマートな解法 Orz〜♪

m≡0 (mod 5),m≡-1 (mod 7),m≡-2 (mod 9),m≡-3 (mod 11)から，
2m≡0(mod 5),2m≡-2(mod 7),2m≡-4(mod 9),2m≡-6(mod 11)，
つまり，2m≡5(mod 5),2m≡5(mod 7),2m≡5(mod 9),2m≡5(mod 11)です．
言い換えれば，2m-5は5,7,9,11の公倍数であり，
最小公倍数は3465だから，最小数mは(3465+5)/2=1735とわかります．

*最短コースでゴールが見えますのねぇ!! 

貴殿は千里眼の持ち主ですバイ☆

12815：二つの直角△の角度の差は？…^^

問題12815・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66181545.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

tanα=3/5

tanβ=4

tan(β-α)=(tanβ-tanα)/(1+tanβ*tanα)

             =(4-3/5)/(1+4*(3/5))

             =17/17=1

so…45°

算数だったら…

12814：連続する4個の自然数…15,14,13,12の倍数になる最小の4個の組は?...

問題12814・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66181778.html より 引用 Orz〜

連続する４つの自然数があり、一番小さい数は15の倍数、次が14の倍数、

その次は13の倍数、そして最後の数は12の倍数です。
こういう４つの整数の組で、一番小さい４つの数字は？

(う山先生からの挑戦状)

解答

・わたしの…

15a

15a+1=14b

15a+2=13c

15a+3=12d

14b-1=13c-2=12d-3=15a

b=15m-1

so…

15a+1=14(15m-1)

15a=15(14m-1)

c=15m-1

15a+2=13(15m-1)

15a=15(13m-1)

so…

a=12*13*14-1=2183

じっさいに…

15*(12*13*14-1)

15*(12*13*14-1)+1=14(12*13*15)-14

同じく…

13(12*14*15)-13

12(13*14*15)-12

けっきょく…

15*(12*13*14-1)=32745・・・(3*5*37*59)

32746・・・32746/14=2339・・・(2*7*2339)

32747・・・32747/13=2519・・・(11*13*229)

32748・・・32748/12=2729・・・(2^2*3*2729)

*一般化できそうね ^^

↑

最小ではなかったです ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜☆

(最小数)+15=(2番目)+14=(3番目)+13=(最大数)+12であり，
この値は15,14,13,12の公倍数です．

最小公倍数は(2^2)*3*5*7*13=5460だから，求める4数は
5445=15*363,
5446=14*389,
5447=13*419,
5448=12*454
となると思います．

*Aha!! お気に入りぃ〜♪