こんにちは、ゲストさん
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解答
・わたしの…
a^2=50
b^3=500
(a^2)^3=50^3=125000
(b^3)^2=500^2=250000
a^6<b^6
so...立方体の方が長いですね ^^
・鍵コメT様からの計算ほとんどなしの解法 Orz〜
次のようにもできます．
Aを底面とする正四角柱で，体積を500cm3にするとき，高さは10cm. この高さは，正方形の一辺よりも長い． よって，この直方体と同じ体積の立方体Bの一辺は，Aの一辺よりも長い． *なるほどのお気に入りぃ〜^^♪
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コメント（1）
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０でない整数Ａ，Ｂ，Ｃがあり、次の式が成り立ちます。
Ａ×53＋77×Ｂ＋28×Ｃ＝7×53×2 上の式をみたすＡ，Ｂ，Ｃを求めなさい。 (2012年．昭和学院秀英中) 解答
・わたしの…
右辺を7で割ったら…0
A=7a
53*a+11*B+4*C=2*53
a=1・・・A=7
B=3
C=5
は少なくとも満たしてますね ^^
これ以外ないかどうかわからず…^^;
・鍵コメT様からのもの Orz〜
負の整数を許せば，例えば
77*53+77*(-53)+28*0=0 を加えることで，Aを77増やし，Bを53減らし，Cを不変にすることができて， 解は無数に存在します．・・・なるほど☆ 中学入試なので，負数はなしだとすると，次のように，解は1通りだけです． Aは7の倍数で，A*53は7*53の倍数． これが正であり，かつ7*53*2-77*B-29*Cだから7*53*2よりは小さいので， A=7に限る． 77*B+28*C=7*53であり，11*B+4*C=53. 11*Bは4で割って1余るから，Bは4で割って3余り， B<53/11と合わせて，B=3に限る．このとき，C=5. *グラッチェ〜^^♪
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１から10までの番号がついている箱があります。
この10個の箱の中に、区別のつかない10個の玉を全部入れていきます。 ただし、玉が入っていない箱があってもよいものとし、
また、１つの箱に玉は何個でも入るものとします。
玉が入っていない箱がちょうど３つの箱だけであるような玉の入れ方は、 何通りありますか。
(2012年．浅野中４番改題) 解答
・わたしの…
10C3*3H7
=10C3*9C2
=120*36
=3600+720
=4320通り
ね ^^
↑
変でした ^^; Orz…
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
3H7は変だと思います．
玉を1つ以上入れる箱を7個選んだら，それらにまず玉を1つずつ入れ， 残り3個の玉を7つの箱に割り振るので， 10C3に掛けるべきものは，7H3=9C3=84です． これは，もっと地道に場合分けして， ・4+1+1+1+1+1+1が7通り ・3+2+1+1+1+1+1が7*6通り ・2+2+2+1+1+1+1が7C3=35通り で合計7+42+35=84のようにして求めることもできます． *たしかにそうでした…^^;
いつも余り考えてませんでしたが...逆だと正しくならないんですねぇ ^^;;
so…
10C3*7H3=10C3*9C3=120*84=10080通りでしたのね…v
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360 の約数のうち、偶数の約数の和は？
解答
・わたしの…
360=2^3*3^2*5
so…
(2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5)
=(2^4-2)*13*6
=14*13*6
=1092
ね ^^
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図のように、182＝324 個の等間隔に並んだ点があり、
上下または左右に隣り合う２点の距離を１とします。 このうちの３個の点を頂点とする直角二等辺三角形のうち、面積が１であるものは何個？ また、直角二等辺三角形は全部で何個？ 解答
上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37691650.html より Orz〜
*↑[解答2]が追加されました☆
上記サイト参照願います〜m(_ _)m〜
・uch*n*anさんのもの Orz〜
n * n の全体の正方形を A，１辺が k 個の点からなり辺が A の辺に平行な正方形を S とします。
S が A に収まる場合は，S の辺上に頂点をもつ k-1 個の正方形 1 個に対して， 直角二等辺三角形が 4 個対応します。 S が A に収まらない場合は，先ほどの S 内の正方形 1 個に対して，， 直角二等辺三角形が 1 個又は 0 個対応します。 これは，S が A の辺に対して，縦方向だけ又は横方向だけ，上下左右４方向，にずれたときです。 それぞれの方向に 1 はみ出すと先ほどの S 内の正方形が 2 個減ります。 直角二等辺三角形の面積が 1 の場合は，S の面積が 4，k = 3，の場合で， S が A に収まるのは 4 * (n-2) * (n-2) 個，収まらないのは 1 * (n-2) * 4 個，で， 合計 4(n-2)^2 + 4(n-2) = 4(n-1)(n-2) 個，です。 直角二等辺三角形全部の場合は，
S が A に収まるのは， Σ[k=1,n]{4(k-1)(n-k+1)^2} = 4 * Σ[k=1,n]{n^2(k-1) - 2n(k-1)^2 + (k-1)^3} = n^2(n^2 - 1)/3 個。 収まらないのは，S 内の正方形が 2 個ずつ減ることより，n = 2m，n = 2m+1，に場合分けします。 n = 2m の場合，
S が A からはみ出すのと，S も k を 2k-1 と 2k とに分けて置き換えて， 4 * Σ[k=1,m]{(Σ[i=1,k-1]{2i-1} * (2m-(2k-1)+1) + Σ[i=1,k]{2(i-1)} * (2m-2k+1)} = 4 * Σ[k=1,m]{(k-1)^2 * 2(m-(k-1)) + k(k-1) * (2m-2(k-2)-3)} = 4 * Σ[k=1,m]{2m(k-1)^2 - 2(k-1)^3 + 2mk(k-1) - 2k(k-1)(k-2) - 3k(k-1)} = 4(m^2(m-1)(2m-1)/3 - m^2(m-1)^2/2 + 2m(m+1)m(m-1)/3 - (m+1)m(m-1)(m-2)/2 - (m+1)m(m-1))
= 4(m^2(m-1)(m+1)/6 + m^2(m+1)(m-1)/6) = 4m^2(m-1)(m+1)/3 = n^2(n^2 - 4)/12 合計 n^2(n^2 - 1)/3 + n^2(n^2 - 4)/12 = n^2(5n^2 - 8)/12 = (5n^4 - 8n^2)/12 個。 n = 2m+1 の場合，
S が A からはみ出すのと，S も k を 2k+1 と 2k とに分けて置き換えて， 4 * Σ[k=1,m]{(Σ[i=1,k]{2i-1} * (2m+1-(2k+1)+1) + Σ[i=1,k]{2(i-1)}) * (2m+1-2k+1)} = 4 * Σ[k=1,m]{k^2 * (2m+1-2k) + k(k-1) * (2m-2-2(k-2))} = 4 * Σ[k=1,m]{(2m+1)k^2 - 2k^3 + 2(m-1)k(k-1) - 2k(k-1)(k-2)} = 4(m(m+1)(2m+1)^2/6 - m^2(m+1)^2/2 + 2(m-1)(m+1)m(m-1)/3 - (m+1)m(m-1)(m-2)/2)
= 4(m(m+1)(m^2 + m + 1)/6 + (m+1)m(m-1)(m+2)/6) = 2m(m+1)(2m^2 + 2m - 1)/3 = (n^2 - 1)(n^2 - 3)/12 合計 n^2(n^2 - 1)/3 + (n^2 - 1)(n^2 - 3)/12 = (n^2 - 1)(5n^2 - 3)/12 = (5n^4 - 8n^2 + 3)/12 個。 以上より，
面積が 1 は 4(n-1)(n-2) 個，総数は [(5n^4 - 8n^2 + 3)/12] = [(n^2 - 1)(5n^2 - 3)/12] 個， と書けます。 *いやぁ〜根気のいる問題ね ^^;
わたしゃ…途中で全部数えてないことに気づけましたが…
気が遠くなり断念 ^^;;
面積1の直角二等辺△の個数
=16^2*4+4*16=1024+4*16=1088個 *わたしにゃ...ここまでで十分ダス…^^;v
すべての直角に等辺△は…
垂直な正方形で… {(17^2+16^2+…+1^1)+2*(1+2+…+8)}*4 =(17*18*35/6+8*9)*4=7428 斜めの正方形で… (16*15+15*14+…+2*1)*4*2 =(Σ[k=1〜15] k(k+1))*8 =(15*16*31/6+15*16/2)*8 =10880 so… 合計=7428+10880=18308個 これでは…2/3,2/5,2/7, とか 3/4,3/5,3/7 とかがカウントされてないのでしたが…
この方法は無謀すぎね…Orz...
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