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13013：10人のうち7人揃えば、必ずいずれかの7部屋に入れるとき1人が持つ鍵の最小個数は？

問題13013(友人問)

ある宿泊所は7室あり、10人の客がいる。この10人の客にカギを、

（＊）がみたされるように渡したい。このときカギは、最低何個必要か。

（＊）”10人のうちのどの7人を選んできても、その人達はそれぞれ

7つの異なる部屋に入ることが出来る”

解答

・わたしの…

1個ずつ異なる鍵を持ってれば入れるけど…^^;

1部屋に入るためには、何個か揃わなければ入れないということなのよね…

1人がx個持っているとすると…

x*7-x*6>=4+1

x>=5

so…

Min x=5　

かなぁ ^^;

この場合、同じ部屋の鍵が2個揃わないと入れないとして考えてることになりますけどねぇ…^^;

↑

題意を十分理解できていませんでしたわ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

「1個ずつ異なる鍵を持っていれば入れる」は変だと思います．
もともと7室しかないので，10人がもつ鍵は，必ず重複が発生しますね．
また，「1人がx個」というパターンとも限りません．
鍵の必要個数が問われているので，人によって個数が違うこともあり得ます．

ポイントとなる事柄を1つだけ提示させていただきます．
「3個しか鍵がない部屋があったとすると，
その部屋の鍵をもつ3人が欠けた7人では7つの部屋に入ることはできない．
よって，どの部屋の鍵も最低4個必要．」

*たしかに...問題文からはそう考えるべきでした…^^;

・鍵コメH様からのもの Orz～

客は自分の持ってる鍵の部屋しか入れないものとして考えることにします

どのように7人を選んでも少なくとも1人がある部屋の鍵を必ず所持しているには
各々の鍵を少なくとも4人に配っておく必要があります
7部屋分の鍵を4人ずつに配るので、少なくとも28個の鍵が必要になります

28個の鍵で(*)を満たすような配り方としては例えば
・3人に全ての部屋の鍵を渡す
・残りの7人にそれぞれの部屋の鍵を1つずつ渡す
とすれば、鍵が1つしかない人を優先してその部屋に入れて
余った部屋に残りが入ればいいので(*)を満たしています

*問題文をもっとわかりやすくしてほしかったなぁ ^^

パズルとして考えれば...最小個数として求められた？のですが…^^;;v

所詮...鱓（ごまめ）の歯軋り（歯ぎしり）だったかも知れませんけど…Orz...

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13012：約数の積...公式も奇麗ね ^^

問題13012・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66067000.html より引用 Orz～

100の約数をすべてかけ合わせた数を求めなさい。
　　　
(2012年関東学院六浦中４番(2)改題)

解答

・わたしの…

100=2^2*5^2

3*3=9個の約数

2,2^2,5,5^2

2*5,2*5^2,

2^2*5,2^2*5^2

so…

2^9*5^9=10^9

つまり…

2^3*(2^3)^2=2^9 ということあるね ^^

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1296763617 より引用 Orz～

「数学 1080の正の約数の積は？」

なら…

1080=2^3*3^3*5

so…

(2^(1+2+3))^(4*2)*(3^(1+2+3))^(4*2)*5^(4*4)

=2^48*3^48*5^16

=3425942643334130438245729236418560000000000000000

以下は下のことを確認してみました ^^v

=(2^3*3^3*5)^16

=1080^(4*4*2/2)

=1080^(約数の個数/2)

上記サイトより Orz～

「orhjianさんのもの Orz～

実は、次の公式が成り立ちます。
xの約数の積=x^（xの約数÷2）
なので、答えは1080^16です。

では、なぜこの公式が成り立つのでしょうか。
例えば24の例を見ましょう。
24の約数は
1,2,3,4,6,8,12,24・・・①
の8個です。
これを逆に書いて、
24,12,8,6,4,3,2,1・・・②
これらを掛けると、
1*24、2*12、・・・、24*1
これらの答えは全部24、その数は8個（=24の約数の個数）ですね。
さて、求めたいのは①をすべて掛けた数なので、①*②の平方根をとればいいですね。
平方根はx^（1/2）と書きます。
これを式にすると、上の公式になります。」

*そっか!!

両端を掛けたら等しくなるのでした ^^;v

so...上式になることは了解できますね☆

ガウスのような方法で鮮やかね ^^♪

・鍵コメY様からのもの Orz～

単純に、
100の約数をすべて書きだすとき、1，2，4，5，10 と、√100 以上になれば、後は
100÷5，100÷4，100÷2，100÷1 と書けばよいし、
24の約数なら、1，2，3，4，6 となれば、6＝24÷4 なので、
1，2，3，4，24÷4，24÷3，24÷2，24÷1 なので、その積は明らかですね。

*その通りの背景でしたのですねぇ ^^☆

・友人からのもの…

1と1080も約数に入れる。

素因数分解すると（指数の形にせず）

1080=2*2*2*3*3*3*5

この7個中から適当に選べば、約数が出来る。

ここで選ばれなかったものすべてを集めたものはやはり約数で、

両者合わせてかけ算すれば当然1080である。

3^4*5^6のような平方数はペアーが同じであるが

問題の場合は違うので約数の個数の半分の同じでないペアーが出来る

約数の個数は4*4*2=32個

よって全ての積は1080^16

*なるほどです☆

(2012年．城西川越中４番改題)

解答

・わたしの…

地道に…^^;

1-2-3-(1,2,3)

f(1)={1(1),2(1),3(1)}=3

f(2)={1(1),2(2),3(2)}=5

f(3)={1(2),2(3),3(4)}=9

f(4)={1(4),2(6),3(7)}=17

f(5)=(7,11,13)=31

f(6)=(13,20,24)=57

f(7)=(24,37,44)=105

f(8)=(44,68,81)=193

f(9)=(81,125,149)=355

f(10)=(149,230,274)=753

(a,b,c)→(c,a+c,b+c) の繰り返し計算しましたぁ ^^;v

アットランダム≒ブリコラージュ

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