アットランダム≒ブリコラージュ

13018：長方形の1/3の面積の△の底辺...

問題13018・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/puzzle/ より 引用 Orz〜

図の四角形ABCDは長方形で、

EはADの真ん中の点です。

図のように、長方形の面積を３等分するように、EFとEGを引きました。

AD：FGの長さの比は何対何ですか？

（２０１７年　カリタス女子中学）

解答

・わたしの…

AD: FG/2=1:1/3

AD:FG=1/2:1/3=3:2

or

1/2+1/x=2/3

1/x=2/3-1/2=1/6

so…

1/2:1/2-1/6=1/2:1/3=3:2

ね ^^

13017：正方形の連結拡大...

問題13017・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

1辺が２ｃｍの正方形を図のようにつなげて図形を作っていきます。

（１）・印が108個ある図形のまわりの長さは何cmですか。 

（２）図形の面積が１０２８㎠であるとき、・印の数は何個ですか。

（２０１７年　芝中学）

解答

・わたしの…

(1)

(108-8)/2+3=53個

(2)

1028/4=257

(257-3)*2+8=516個

ね ^^

↑

(1)は別物を数えてましたわ ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) 問われているのは周の長さです．
元の正方形の辺が108個あるので，216cmですね．

*ご指摘グラッチェ ^^;;v

13016：領域の面積...

問題13016・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37695013.html より Orz〜

　cos(πx)＋cos(πy)＞0 かつ |x|＋|y|＜33 を満たす領域の面積は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37707961.html より Orz〜

　まず、cos(πx)＋cos(πy)＞0 を満たす領域を求めます。

　cos(πx)＋cos(πy)＞0 において、x を (−x) に書き換えると 

　cos(−πx)＋cos(πy)＞0 、cos(πx)＋cos(πy)＞0 になり、

　ｙ軸に関して対称な領域になり、同様に ｘ軸に関しても対称な領域になります。

　cos(πx)＋cos(πy)＝2cos｛π(x＋y)/2｝cos｛π(x−y)/2｝ ですので、

　0≦x＜1，0≦y＜1，0≦x＋y＜1 のときこの値は 正になり、

　0≦x≦1，0≦y≦1，1≦x＋y≦2 のときこの値は 0以下ですので、

　0≦x≦1，0≦y≦1 の範囲では、cos(−πx)＋cos(πy)＞0 を満たすのは x＋y＜1 の部分、

　ｘ軸に関してもｙ軸に関しても対称だから、

　−1≦x≦1，−1≦y≦1 の範囲では、(±1，0)，(0，±1)を頂点とする正方形の内部です。

　次に、cos(πx)＋cos(πy)＞0 において、x を (x±2) に書き換えると

　cos｛π(x±2)｝＋cos(πy)＞0 、cos(πx)＋cos(πy)＞0 になり、

　ｘ軸方向に −2 または 2 の平行移動しても領域は不変で、

　同様に、ｙ軸方向に −2 または 2 の平行移動しても領域は不変です。

　よって、その領域は m，n を偶数として、(m±1，n)，(m，n±1)を頂点とする正方形の内部で、

　図の緑色と水色の部分です。

　次に、p を正の定数として、|x|＋|y|＜p を満たす領域は cos(πx)＋cos(πy)＞0 と同様、

　ｘ軸に関してもｙ軸に関しても対称で、x≧0，y≧0 の範囲では x＋y＜p だから、

　(±p，0)，(0，±p)を頂点とする正方形の内部で、図は p＝9 の場合ですが、

　図の緑色と黄色の部分で、その面積は 2p² です。

　p が奇数のとき、緑色の正方形は黄色の正方形よりも１個多く、

　正方形１個の面積は 2 ですので、緑色の部分の面積は (2p²＋2)/2＝p²＋1 です。

　本問は p＝33 の場合ですので、33²＋1＝1090 です。

*わたしにゃ...解けそで解けず…熟読玩味ぃ ^^;v

13015：ある操作を16回施して終了するときのもとの整数の個数...

問題13015・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66065030.html より 引用 Orz〜

ある整数に対して、次のような操作(ア)または(イ)を、
その結果が１になるまでくり返し行います。
（ア）偶数は２で割ります。
（イ）奇数には１を加えます。
16回の操作で終了する整数は、全部でいくつありますか？
　　
(1993年．筑波大附属駒場中３番(4)改題)

解答

・わたしの…

3回なら…

1-2-(4,3)-((8,7),(6,5))-・・・1+1+2+2^2=2^3

so…

16回なら…

1+1+2+2^2+…+2^15=2^16=65536個

ね ^^

↑

誤ってました ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1←2ですが，2←(3,4)は誤りで，3からは2ではなく4に移行します．
以下，2←4，3←6，4←(3,8)，5←10，6←(7,12)のようになります．
つまり，1回の操作でnになる数(「nの親」ということにします)は，
nが正の奇数または2のときは2nだけであり，
nが4以上の偶数のときはn-1,2nの2つとなります．

「奇数または2」をA型，それ以外の自然数をB型としましょう．
1以外のA型の数nの親2nはB型であり，
B型の数nの親は，n-1がA型，2nはB型です．

自然数kに対して，k回の操作で終了するような自然数のうち
A型の個数をa[k]，B型の個数をb[k]とすると，
a[1]=1,b[1]=0 (1回で終わるのは「2」のみ)であり，
A型の数a[k]個はそれぞれ1つのB型の親をもち，
B型の数b[k]個はそれぞれA型，B型の親を1つずつもつので，
a[k+1]=b[k],b[k+1]=a[k]+b[k]となりますね．

求めるものa[16]+b[16]はb[17]であり，
b[2]=1,b[k+2]=b[k+1]+a[k+1]=b[k+1]+b[k]となって，
{b[k]}:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,…
となるので，求める個数は987です．

*漸化式で考えればいいことはわかりました ^^☆

but...小学生には酷な気もしたり…^^;...

13014：三角形の個数は？...

問題13014・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66065653.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

素直に数えて…13個

ね ^^