アットランダム≒ブリコラージュ

13272：面積比...正十二角形の対角線分割...

問題13272・・・http://www.geocities.jp/yoimondai/3/e46.html より 引用 Orz〜

図のように正十二角形に2本の対角線をかき加えて、ア、イ、ウのように3つの部分に分けたとき、ア、イ、ウの面積の比を求めなさい。

解答

・わたしの…

13271：旧跡…正n角形の折り紙...

問題13271・・・http://www.geocities.jp/yoimondai/3/e46.html より 引用 Orz〜

上のように正n角形の紙を中心を通らない対角線のうち、最も長いものを折り目として折り重ねました。斜線部分の面積は、もとの正n角形の面積の何分の何ですか。

解答

なるほどの解答は上記サイトへ Go〜♪

13270：旧跡...正八角形内の△…^^;

問題13270・・・http://www.geocities.jp/yoimondai/3/e46.html より 引用 Orz〜

面積が30cm²の正八角形があります。斜線部の面積を求めなさい。

（2008年 東海中9番）

解答

・わたしの…

無理矢理…^^;

↑

違ってた…^^; Orz…

↓

・上記サイトのスマートな解法 Orz〜

「次の3本の対角線は1点で交わります。「左右の対称性」から明らかです

斜線部の一部分を等積変形すると、八角形の4/8の長方形の半分になるので 30/4=7.5 cm^2になる。」

*鮮やかなものね☆

13269：三辺が39,40,25cmの△の面積...ヘロン使わず…^^

問題13269・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66087043.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

2辺が40cmの二等辺三角形を作り、台形にトレミーを使って…

13268：証明...左端から、左端の数字k番目の数字を左端に移動する操作で、必ず左端は1になる...

問題13268・・・https://mobile.twitter.com/mathlion_jp/status/732807352685088768/photo/1?ref_src=twsrc%5Etfw&ref_url=http%3A%2F%2Fmathlion.jp%2Fcategory%2Fcategory02.htmlより 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

1以外のkはk以外の数字k'になるから，当然ね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1以外の数kがk以外の数k'になり，それがまた別の数k''になり，…
を繰り返して，またkに戻ってしまったりしないことを示さないと，
解答としては不完全だと思います． 

私は次のようにしました．

「操作」を行うと，k番目はkになり，
先頭が1でなかった場合．操作により
先頭からの序列とその数自体が一致する箇所が少なくとも1つ増える．
「先頭からの序列とその数自体が一致する箇所」は高々nヶ所だから，
「先頭が1でない」状態がn回を超えて続くことはない．

よって示された．

*抽象的な思考を言語化できる能力羨まし☆

じっさいは...言語化できなきゃ抽象的な操作/思考ってのはできちゃいないはずなわけですけどね…^^;…

↑

内田樹さんのお話はこのようなことに気づかせてくれますです ^^♪

・鍵コメH様からのコメント Orz〜

鍵コメT様の考え方は先頭の数とk番目の数を入れ替えるという操作になっているのではないでしょうか.
この問題では例えばt=5のとき、41523という並びの時は
左側の4152をまるごと反転させて25143という並びに入れ替える事を要求しているのだと思います.

*文章を読み直すとたしかにその意味のようでしたか ^^;v

その場合も…鍵コメT様の発想と似た感じで言えそうかな…?

・鍵コメH様からのもの Orz〜

並び方の総数は有限なので、途中で左端が1になって操作が止まるか、ループになるかのどちらかなので、ループにならない事を示せれば十分だと思います.

仮にループになっていた場合、ループに現れる左端の整数で最大のものをMとおくと

Mは定期的に左端にくるはずですが
Mが一度左からM番目の位置に移動すると、M以上の整数が左端にこない限りMの位置が動くことはないので仮定と矛盾していることが示せます .

*了解できましたわ☆

・鍵コメT様からのもの Orz〜

おっと，題意を取り損ねていました．

「先頭からの序列とその数自体が一致しないものの集合」をAとする．

先頭が1でないとき，操作を行うと，集合Aからkが除かれる．
ただし，k未満の数は，新たに集合Aに加わる可能性がある．

Aのすべての要素kについて，2^(k-1)の総和は，
先頭が1でない限り，1回の操作で必ず減少する．
この値は負でない整数値しかとらないから，
いずれは減少しなくなり，そのとき先頭は1である．

*1以外では...先頭の数とその序列の数は必ず異なるので…Aの個数は減少(-1)して行き、最後は0になる…そのとき=左端が1という意味と解釈しましたが…合ってるかいなぁ ^^;

・鍵コメT様から頂戴した説明ぃ〜 Orz〜

「Aの個数は減少」とは限りません．
例えば，5-2-1-4-3のとき，A={1,3,5}であり，
1回操作をすると，3-4-1-2-5となって，A={1,2,3,4}です．
(要素の個数は増加しています．)
ただしこのとき，Aからは5がなくなるので，
「2^(k-1)の総和」(Sとする)については，2^4が減り，
2^3,2^2,2^1,2^0のうちに増えるものがどれだけあっても，
Sは減少しますね．

*数字kを2^kの和に変換して考えるんですね ^^;☆