アットランダム≒ブリコラージュ

13292：整数関数方程式…^^;

問題13292(友人問)

整数全体に対して定義され、正の整数値をとる関数fがあり、任意の整数m,nに対し、f(m)-f(n)がf(m-n)で割り切れるとする。

整数m,nがf(m)<=f(n)をみたすならば、f(n)がf(m)で割り切れることを示せ。

解答

な〜〜〜んにも思いつかない…^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

f(m)-f(0)はf(m)の倍数だから，f(0)はf(m)の倍数．
よって，fのとり得るすべての値に対し，f(0)はその倍数となり，
f(0)は正の整数だから，fのとり得る値は有限個に限定される．…[*]

f(m)=a,f(n)=b,a<bで，bがaの倍数でないと仮定する．
f(m+n)-f(m)はf(n)で割り切れるから，f(m+n)はa+(bの倍数)．…[1]
f(m+n)-f(n)はf(m)で割り切れるから，f(m+n)はb+(aの倍数)．…[2]
[2]より，f(m+n)はaの倍数ではない．
f(m+n)>0だから，[1]より，f(m+n)は，a+b以上である．

よって，f(m+n)=b'，m+n=n'とすると，
「f(m)=a,f(n')=b',a<b<b'で，b'はaの倍数でない」が成立する．
この手続きを繰り返すと，fのとり得る値として，
a,b,b',b'',b''',… (a<b<b'<b''<b'''<…)
が得られることになり，[*]に反する．
よって，仮定は誤りで，f(m)=a,f(n)=b,a<bであればbはaの倍数．

*ちなみに...友人からは...この問題は難問とのことでした…^^

熟読玩味ぃ〜^^;v

・友人から届いたもの…

*いずれにしても難しや ^^;

13291：求長 & 旧跡......長方形内の円の交点...

問題13291・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66099390.html より Orz〜

(1) 長方形ＤＥＦＧの内部に、点Ｄが中心でＤＥを半径とする円の一部と、ＥＦを直径とする半円があります。これらは点Ｈで交わっています。

ＥＨの長さを求めなさい。

(2) 四角形ＥＦＧＨの面積を求めなさい。
　　　　　　　　　
(2013年．灘中２日４番(2)改題)

解答

・わたしの…

(1)

(2)

13290：000〜999までで、0,9の両方の数字を含む個数...

問題13290・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66097746.html より 引用 Orz〜

あるトレーニングジムのロッカーは1000個あり、[000]〜[999] の1000個の番号が書いてあります。この中で、[0]と[9] の数字が両方とも書いてあるロッカーは何個ありますか？

解答

・わたしの…

0,9 が両方ともないものを全体から引いて、000,999の2個を引く…

10^3-8^3-2

=486個

ね ^^

↑

思考の盲点でした…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

例えば「130」は条件に合いませんが，
「0,9が両方ともないもの」でもなく，「000または999」でもないので，
引かれずに残っています．

0,9と，それ以外の数字が書かれているものが，8*3!=48(個)．
0,0,9または0,9,9の数字で構成されているものが，2*3=6(個)．
合計54個ですね．

* and だから or を引いて引き過ぎを足すと言う考え方じゃないとダメなんですねぇ…^^;

so…

10^3-2*9^3+8^3=54

ってな風にしなければ駄目だったわけですね…Orz...